Cho số nguyên tố p>3. Chứng minh số dư của phép chia $\prod_{j=1}^{p} (j^2+1)$ cho $p$ là 0 hoặc 4.

Cho số nguyên tố p>3. Chứng minh rằng nếu p chia 8 dư 1 thì $2^{\frac{p-1}{2}}-1$ chia hết cho p

Cho p là số nguyên tố lẻ. Đặt $m=\frac{9^p-1}{8}$. Chứng minh m là một hợp số lẻ, không chia hết cho 3 và $3^{m-1}\equiv 1$ (mod m)

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho $5^{p^{2}}+1 \equiv 0 $ (mod $p^2$)

Chứng minh rằng tồn tại các số tự nhiên a,b,c là nghiệm đúng của phương trình $x^2+y^2+z^2=3xyz$ và thoả mãn điều kiện: min {a,b,c} > 24 

Chứng minh rằng $1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2$ 

điều cần cm $<=> \frac{3c}{c^2+9a^2} + \frac{4a}{4a^2+b^2} + \frac{18}{4c^2+9b^2}\leq \frac{3}{2}$

mà $<=> \frac{3c}{6ac} + \frac{4a}{4ab} + \frac{18}{12bc}\leq \frac{1}{2a} +\frac{1}{b} +\frac{3}{2c} = \frac{3}{2}$

Tại sao ạ? 

Cho đường tròn tâm O đường kính AB. N di động trên tiếp tuyến tại B của (O). Kẻ tiếp tuyến NM với đường tròn.

a) Tìm quỹ tích điểm P là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB

b) Tìm quỹ tích điểm Q là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNB.

Cho a,b,c dương thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=3$. Chứng minh rằng $\frac{27a^2}{c(c^2+9a^2)}+\frac{b^2}{a(4a^2+b^2)}+\frac{8c^2}{b(9b^2+4c^2)}\geq \frac{3}{2}$

Cho a,b >0 thỏa mãn (a+b)³+4ab $\leq $ 12

Chứng minh rằng $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2015ab \leq 2016$

Cho hàm số (P): y=x². Hỏi có tồn tại M, N, P thuộc (P) thỏa mãn tam giác MNP đều không? (chứng minh cụ thể)

Cho parabol (P): y=x² và hai điểm I(0;1) và J(1;0). Xác định các điểm M, N thuộc (P) sao cho IM và JN ngắn nhất.

Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn $(x^2+y^2+10)\vdots xy$

1. Chứng minh rằng x, y lẻ và x, y nguyên tố cùng nhau

2. Chứng minh $k=\frac{x^2+y^2+10}{xy} \vdots 4$ và $k\geq 12$

Cho các số a,b,c,d thỏa mãn điều kiện $1\leq a\leq b\leq c\leq d \leq 4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $M=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$

Xác định các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm: $(x-1)^2=2|x-m|$

Phương trình trên mình đã biến đổi rất nhiều và khi bình phương lên là bậc 4 (không ở một số dạng đặc biệt)
Làm pt bậc 4 tổng quát thì không dễ tí nào      

Bạn chắc cần chữa lại đề nha 

Nếu sửa lại tử số thành $\sqrt{x+1}$ thì tìm được $x=0$. Chắc là sai ở chỗ đó  

Tìm GTNN của $P=\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}$ với $x \in (0;1)$

Giải bài trên bằng 6 cách.

Cho x, y thỏa mãn $x^2+y^2+xy=1$. Tìm GTLN, GTNN của $S=x^2-xy+2y^2$

Thế thì giải PT đó đi mình chỉ dự đoán PT vô nghiệm thôi chứ chưa chắc chắn mà

Ukm. Cảm ơn đoạn lời giải trước của bạn nha. Nó thực sự rất hay đó  

X=0 thay vào không thỏa mãn là chuyện bình thường với lại cái dấu căn là mình đánh nhầm nhưng nhác sửa Nhưng dù gì cách mình đến phần giải phương trình thì chưa triệt để còn P=1 thì đúng rồi đấy. Biết đâu PT vô nghiệm, bạn chứng minh thử xem

P=1 có nghiệm $x\approx 0,1150879947$

Mình bấm máy ra 

$\sqrt{x+2}\leq \frac{x+3}{2}=>P\leq \frac{x+3}{2(x+\sqrt{x}+1)}=\frac{(x+\sqrt{x}+1)+(2-\sqrt{x})}{2(x+\sqrt{x}+1)}=\frac{1}{2}+\frac{2-\sqrt{x}}{2(x+\sqrt{x}+1)}$

$x+\sqrt{x}+1=(\sqrt{x}+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4};2-\sqrt{x}\leq 2=>P\leq \frac{1}{2}+\frac{4}{3}=\frac{11}{6}=>P=1(x\geq 0=>P> 0)=>\sqrt{x+2}=x+\sqrt{x}+1$

$<=>x+2=x^{2}+x+1+2x\sqrt{x}+2\sqrt{x}+2x<=>2=(x^{2}+2x+1)+2\sqrt{x}(x+1)<=>2=(x+1)(\sqrt{x}+1)^{2}<=>\sqrt{2}=\sqrt{x+1}(\sqrt{x}+1)<=>\sqrt{2}=\sqrt{x+1}(\sqrt{x+2}-x)$<=> $\sqrt{(x+1)(x+2)}-\sqrt{2}-x\sqrt{x+1}=0<=>x(\frac{x+3}{\sqrt{(x+1)(x+2)+\sqrt{2}}}-\sqrt{x+1})=0$

Nhưng chưa chứng minh cái trong ngoặc khác 0 được

dấu căn ở dưới mẫu của phân số hình như không chứa cả $\sqrt{2}$ 

mà x = 0 đâu thỏa mãn P nguyên 

mặc dù lời giải hay và mình cũng chưa tìm ra lỗi sai nào khác 

lạ nhỉ  

Cho $P = \frac{\sqrt{x+2}}{x+\sqrt{x}+1}$. Tìm $x \in \mathbb{R} $ để $P \in \mathbb{Z}$

Tìm x

$4(2\sqrt{10-2x}-\sqrt[3]{9x-37})=4x^{2}-15x-33$

Cho x, y, z thỏa mãn

$ \left\{\begin{matrix}

Giải phương trình: $(x^{3}-4)^{3}=(\sqrt[3]{(x^{2}+4)^{2}}+4)^{2}$