Mọi người giúp mình bài này
Giải pt sau:
$2x^2-x-7+2\sqrt{6x+11}=0$

Mọi người giúp mình bài này
Chứng minh rằng $\triangle ABC$ vuông nếu $sinA+sinB+sinC=1+cosA+cosB+cosC$

Mình xin ủng hộ thêm bài nữa
$2sin^3x-cos2x+cosx=0$

Giải pt sau: $2sin^3x-cos2x+cosx=0$

Mọi người cho mình hỏi bài này
Cho lăng trụ $OAB.O_1A_1B_1$. Gọi $M$, $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AO$, $OE$. Gọi $H$ thuộc đoạn $BB_1$ sao cho $BH=2HB_1$. Tìm mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và song song với $A_1E$ và $OH$.

Cho mình hỏi bài này
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. $P$ là 1 điểm di động trên tia đối của tia $CS$. $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $CD$. Ta có $SB$ và $SD$ lần lượt cắt mặt phẳng $(MNP)$ tại $H$ và $K$. Gọi $I$ là giao điểm của $NH$ và $MK$. Chứng minh rằng $I$ chạy trên 1 đường thẳng cố định.

Cho $\triangle ABC$ nội tiếp trong $(O)$. Đường tròn $(O')$ đi qua $B$ và $C$ cắt $AB$ và $AC$ lần lượt tại $F$ và $E$. Gọi $H$ là giao điểm của $BE$ và $CF$ . Gọi $I$ là giao 2 tiếp tuyến của $(O')$ tại $E$ và $F$. CMR $OH$ đi qua trung điểm của $IO'$.

Cho $n\in\mathbb{Z}_+$. Hỏi có bao nhiêu cặp đa thức $P(x),\;Q(x)\in\mathbb{R}[x]$ trong đó $deg\; P > deg\; Q$ mà: $[P(x)]^2+[Q(x)]^2=x^{2n}+1$.

Cho $x,y,z\in[1;4]$ và $y\leq x$, $z\leq x$.

Tìm giá trị LỚN nhất của biểu thức: $P=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$.

Cho $\triangle ABC$ nội tiếp $(O)$. $D$ là 1 điểm bất kì chạy trên cung $AB$ không chứa $C$. Gọi $I_A$, $I_B$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $\triangle ADC$ và $\triangle BDC$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp $\triangle I_{A} I_{B} C$ tiếp xúc với $(O)\Leftrightarrow \frac{AD}{BD}=\frac{AC+CD}{BC+CD}$.

Cho $\triangle ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $S$. $AD$ là phân giác trong. Trung trực của $AB$, $AC$ cắt $AD$ tương ứng tại $M$, $N$. Gọi $P$ là giao điểm của $BM$ và $CN$ và $(I)$ là đường tròn nội tiếp $\triangle MNP$, $H$ là trực tâm $\triangle OMN$. CMR: $A$, $I$, $S$ thẳng hàng.

bạn có thể nhìn theo hướng sau. Xét tam giác $XYZ$ thì rõ ràng $XA,YB,ZC$ là các đường cao vậy $\triangle XBC$ đồng dạng $\triangle XYZ$ vậy ta có tỉ số $\frac{PY}{PZ}=\frac{DB}{DC}$ mà theo định lí Sodat cho 2 tam giác orthologic thì ta có điểm thấy xạ của $XYZ$ và $ABC$ thuộc đường thẳng Euler của $\triangle DEF$ vậy điểm đồng qui thuộc $OI$

nếu bạn chưa biết về định lí Sodat cho 2 tam giác orthologic bạn có thể tham khảo link sau

https://artofproblem...ctive_triangles

mình đã đọc về định lý Sodat ở trên link và mình cux đã hiểu nhưng mình cux chưa thấy nó liên quan lắm đến vấn đề điểm đồng quy nằm trên $OI$?? Và mình cux chưa hiểu lắm về "xạ của tam giác $XYZ$ và $ABC$ thuộc đường Euler của $\triangle DEF$? 

bổ đề: Cho tam giác $ABC$, đường tròn nội tiếp tiếp xúc $BC$ tại $D$, tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ là $J$ và trung điểm đường cao từ $A$ là $X$ thì $J,D,X$ thẳng
(điều này khá quen thuộc, mình sẽ không trình bày lời giải cho bổ đề này)
quay lại bài toán
gọi tâm đường tròn bàng tiếp góc $A,B,C$ là $X,Y,Z$. thì $X,D,A_0$ thẳng. Gọi giao của $XD$ và $YZ$ là $P$ thì theo tính đồng dạng ta có $\frac{PY}{PZ}=\frac{DB}{DC}$ vậy theo ceva ta có $XD,YE,ZF$ đồng qui dpcm

Mình không hiểu lắm cái chỗ theo tính đồng dạng ta có $\frac{PY}{PZ}=\frac{DB}{DC}$?? À và phải chứng minh điểm đồng quy đó nằm trên $OI$ thì làm thế nào nhỉ

Cho tam giác $ABC$ và $(O)$, $(I)$ tương ứng là đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác. $(I)$ tiếp xúc với $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt tại $D$, $E$, $F$. Kẻ các đường cao $AH$, $BK$, $CL$. Gọi $A_0$, $B_0$, $C_0$ tương ứng là trung điểm của $AH$, $BK$, $CL$. Chứng minh rằng $DA_0$, $EB_0$, $FC_0$ đồng quy. 

Ta

 

Sao người ta "thiết kế" đề phức tạp không cần thiết vậy

Hình như hỏi xem người ta có biết đếm hay không !
 

Số hạng đầu tiên trong tích có thiếu 1 không bạn?

Thật ra mình làm 1 bài dãy khác thì đâm ra phải chứng minh cái này ) Mình chưa chứng minh được Bắt đầu là $y_1 = 3$ đấy bạn

Các bạn giúp mình bài này )

Cho dãy $\left \{ y_n \right \}$ thỏa mãn: $y_n=\left ( \frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3} \right )\left ( 1+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{(n-1)^2}+\frac{1}{(n-1)^3} \right )...\left ( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3} \right ).(1+1+1+1)$ với mọi số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng $y_n<4\;\forall\;n\in\mathbb{Z}_+$

Bổ đề quen thuộc Cho tứ giác ABCD, M,N,P,Q lần lượt là tâm nội của BCD, CDA, DAB, ABC. Khi đó MNPQ là hình chữ nhật

Áp dụng bổ đề và giả thiết đã cho ta có đpcm

Bạn có thể nói rõ cho mình biết bổ đề đấy là bổ đề gì và chứng minh như thế nào không? )

Mọi người giúp mình bài này )

Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình chữ nhật nếu các đường tròn nội tiếp các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC bằng nhau.

Mọi người giúp mình bài này )

(Sử dụng phép quay và phép tịnh tiến). Cho hai tia Ox và Oy cố định và $\widehat{xOy}=\alpha$. A chạy trên Ox và B chạy trên Oy sao cho $OA+OB=m$ không đổi. Chứng minh rằng trung trực của AB luôn đi qua 1 điểm cố định.

Mọi người giúp mình bài này )

Cho $k\in\mathbb{Z}_{+}$. Tìm điều kiện của $a\in\mathbb{Z}_{+}$ thỏa mãn: $x^k+y^k\;\vdots\; x^a+y^a\;\forall\;x,y\in\mathbb{Z}_{+}$

sau đây là các bước chính của bài toán và không phải lời giải hoàn toàn của bài

$\mathcal{P}(1,1)\rightarrow 2f(1)\mid 2^k\Rightarrow f(1)=2^u$

$\mathcal{P}(2,2)\rightarrow 2f(2)\mid 4^k\Rightarrow f(2)=2^v$

$\mathcal{P}(1,2)\rightarrow f(1)+f(2)\mid 3^k\Rightarrow 2^u+2^v\mid 3^k$

vì $3^k$ lẻ nên tới đây chứng minh được $u=0$,từ đây ta có

$1+2^v\mid 3^k\Rightarrow 1+2^v=3^t$

phương trình nghiệm nguyên trên khá dễ giải và ta có được $v=2$

tới đây ta đã có $f(1)=1,f(2)=2$

xét với số nguyên tố $p>2$

$\mathcal{P}(p-1,1)\rightarrow f(p-1)+f(1)\mid p^k\Rightarrow f(p-1)=p^x-1$

$\mathcal{P}(p-1,2)\rightarrow f(p-1)+f(2)\mid (p+1)^k\Rightarrow p^x+1\mid (p+1)^k$

tới đây theo định lý $\text{Zsigmondy}$ ta suy ra được $x=1$ tức là ta có $f(p-1)=p-1$

$\mathcal{P}(p-1,n)\rightarrow p-1+f(n)\mid (p-1+n)^k$

$(p-1+n)^k\equiv \ \left ( n-f(n) \right )^k\ \left ( \mod\ p-1+f(n) \right )$

$\Rightarrow p-1+f(n)\mid (n-f(n))^k$

từ đây cố định $n$ và cho số nguyên tố $p\rightarrow +\infty$ ta có được $f(n)\equiv n$

Bạn nói cho mình rõ hơn về định lý Zsigmondy được không?

Mọi người giúp mình bài này

Tìm tất cả $f:\mathbb{Z}_{+}\rightarrow\mathbb{Z}_{+}$ thỏa mãn:

i) $f$ toàn ánh.

ii) $\forall\;m,n\in\mathbb{Z}_{+}, p$ nguyên tố thì: $f(m+n)\;\vdots \;p\Leftrightarrow f(m)+f(n)\;\vdots\; p$

bài nhìn màu mè vậy thôi :v

cho $b=c=1$ thì ta có $a+2\mid a^n+2,\ \ \forall a\in \mathbb{N}^*$

ta có 

$a^n+2\equiv \left ( -2 \right )^n+2\left ( \mod\ a+2 \right )$

$\Rightarrow a+2\mid \left ( -2 \right )^n+2,\ \ \forall a\in \mathbb{N}^*$

tới đây ta cho $a$ đủ lớn thế là ta có $(-2)^n+2=0\Rightarrow n=1$ 

thử lại với $n=1$ thì thỏa và đây là đáp án duy nhất của bài

Thực ra cũng có cách đơn giản hơn là thử trường hợp đặc biệt )

Thấy n = 1 thỏa mãn. Xét $n>2$ và xét $a=1,b=1,c=2$ là rồi xét $mod 4$ là thấy vô lí rồi )

Ừ nhỉ thực ra mình thấy bài này cũng k khó đến vậy ) Mình tự nghĩ ra thôi ) Cảm ơn mọi người 

Mọi người giúp e bài này ạ )

Cho $k\in\mathbb{Z}_{+}$. Tìm tất cả $f:\mathbb{Z}_{+}\rightarrow\mathbb{Z}_{+}$ thỏa mãn: $f(m)+f(n)\mid (m+n)^k\;\forall\;m,n\in\mathbb{Z}_{+}$.