$1)$ Truyện kể rằng một hoàng tử đi cứu công chúa và gặp một con rắn có 100 cái đầu. Hoàng tử có 2 thanh kiếm: Thanh kiếm 1 cho phép chặt đúng 21 cái đầu rắn. Thanh kiếm 2 cho phép chặt đúng 9 cái đầu rắn nhưng khi đó con rắn lại mọc thêm 2018 cái đầu khác.

     Biết rằng nếu con rắn có ít hơn 21 cái đầu hoặc 9 cái đầu thì hoàng tử không dùng được thanh kiếm 1 hoặc thanh kiếm 2 tương ứng và hoàng tử cứu được công chúa nếu như con rắn bị chặt hết đầu. Hỏi hoàng tử có cứu được công chúa không?

$2)$ Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn đồng thời $x^{2}+4y^{2}+z^{2}+2xz+4(x+z)=396$ và $x^{2}+y^{2}=3z$

$Bài$ $ 1$: Cho Parabol (P) : y=$x^{2}$ và đường thẳng (d) có phương trình mx-y+1=0. Chứng minh rằng:
a) Khi m thay đổi thì (d) luôn đi qua một điểm cố định M và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B (không làm)
b) Tam giác OAB vuông
c) $\left | X_{A }-X_{B}\right |$ $\geq$ 2
$Bài$ $2$: Cho hàm số y =$\sqrt{x^{2}-4x+4}+\sqrt{4x^{2}+4x+1}+ax$ (x là biến số)

1/ Xác định a để hàm số luôn đồng biến.

2/ Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1;6). Vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho với a vừa tìm được.

3/ Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau:

                   $\sqrt{x^{2}-4x+4}+\sqrt{4x^{2}+4x+1} = x+m$

Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

$8x^{2}-3xy-5y=25$

Giải Hệ Phương Trình Sau:

$\left\{\begin{matrix} x+y=z^{2}\\ x=2(y+z)\\ xy=2(z+1) \end{matrix}\right.$

Tìm GTNN của biểu thức sau:

A=$\frac{(x+y+1)^{2}}{xy+y+x}+\frac{xy+y+x}{(x+y+1)^{2}}$ (Với x;y là các số thực dương)

Cho 3 số dương a,b,c.Chứng minh bất đẳng thức:

$\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\leq \sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{ca}}$

Cho các số dương x,y,z thỏa x+2y+3z=18.Chứng minh rằng:

$\frac{2y+3z+5}{1+x}+\frac{3z+x+5}{1+2y}+\frac{x+2y+5}{1+3z}\geq \frac{51}{7}$

Tìm minP biết P=4x+$\frac{1}{4x}-\frac{4\sqrt{x}+3}{x+1}+2016$

Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{xyz}{(1+3x)(x+8y)(y+9z)(z+6)}\leq \frac{1}{7^{4}}$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc=2. Chứng minh rằng:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}$

Cho a,b,c,x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. Chứng minh rằng:

$ax+by+cz+2\sqrt{(xy+yz+zx)(ab+bc+ca)}\leq a+b+c$

Chứng minh nếu phương trình $x^{4}+ax^{3}+2x^{2}+bx+1=0$ có ít nhất một nghiệm thực, thì:

$a^{2}+b^{2}\geq 8$

Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc =1. Chứng minh rằng:

$\sqrt{a^{2}+(1-b)^{2}}+\sqrt{b^{2}+(1-c)^{2}}+\sqrt{c^{2}+(1-a)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Cho hình vuông ABCD, trên AB lấy điểm M, AD lấy điểm N sao cho AM=AN, vẽ AH vuông góc với BM tại H, AH cắt CD tại E và cắt BC tại F. Chứng minh tam giác AMH đồng dạng với tam giác BCH

Tìm x,y $\epsilon$ N sao cho:
$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=y$

Tìm x,y $\epsilon$ Z sao cho $3^{x}+1=2^{y}$

Cho tam giác ABC, các đường phân giác AM,BN,CQ thỏa mãn góc NMQ vuông, đường thẳng qua A song song cới BC cắt MQ,MN tại D,E. chứng minh góc BAC=120 độ ( gợi ý: cm AD=AE)

Cho $x\neq -2013$. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, chứng minh rằng:
$\frac{x}{(x+2013)^{2}}\leq \frac{1}{8052}$

Tìm GTLN của $P=\frac{yz\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}$ với $x\geq 1,y\geq 2,z\geq 3$

Cho 2017 số tự nhiên bất kì: $a_{1},a_{2},....,a_{2017}.$ Chứng minh rằng: Tồn tại 1 số hoặc 1 vài số trong đó chia hết cho 2017

Cho 2014 số nguyên dương đôi một khác nhau và nhỏ hơn 4024. Chứng minh rằng: tồn tại 3 số trong đó 1 số bằng tổng 2 số còn lại.

Biết rằng a;a+k;a+2k nguyên tố lơn hơn 3. Chứng minh k$\vdots$6

Chứng minh tồn tại k $\in$ $\mathbb{N}^{*}$ sao cho $2012^{k}-1\vdots 2013$

Cho 5 số nguyên phân biệt $a_{1};...;a_{5}$. Chứng minh rằng:
$P=(a_{1}-a_{2})(a_{1}-a_{3})(a_{1}-a_{4})(a_{2}-a_{3})(a_{2}-a_{4})(a_{2}-a_{5})(a_{3}-a_{4})(a_{3}-a_{5})(a_{4}-a_{5})\vdots 288$

Tìm  Min $A=4x+\frac{1}{4x}-\frac{4\sqrt{x}+3}{x+1}+2016$