Bài toán: Giải bất phương trình
$$\sqrt{x}+\sqrt{1-x^2}\geq \sqrt{2-3x-4x^2}$$
( Đề thi thử lần 4 chuyên ĐHV 2014 )
There have been 920 items by T M (Search limited from 13-05-2020)
Posted by T M on 15-06-2014 - 15:43 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Bài toán: Giải bất phương trình
$$\sqrt{x}+\sqrt{1-x^2}\geq \sqrt{2-3x-4x^2}$$
( Đề thi thử lần 4 chuyên ĐHV 2014 )
Posted by T M on 14-06-2014 - 16:57 in Bất đẳng thức và cực trị
Lâu lắm mới vào lại diễn đàn, một số topic nhìn cũng loạn quá rồi Thôi post ra ngoài thì hơn.
Bài toán: Cho $x;y;z>0$Tìm GTNN của ( Thi thử GSTT 14/6/2014 )
$$ P= \frac{y+2x^2}{2x+1}+\frac{z+2y^2}{2y+1}+\frac{x+2z^2}{2z+1}+\frac{8}{x+y+z}$$
Mọi người cố gắng phân tích được thì tốt, không thì cố gắng lời giải chỉnh chu và phù hợp với thi đại học nhé, 96er đâu hết rồiiiiiiiiiiiiiiiiii
Posted by T M on 01-05-2014 - 00:13 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho $x;y;z \geq 0$ thỏa mãn $\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+2y}+\sqrt{1+2z}=5$
Tìm $MAX_P=2x^3+y^3+z^3$.
Posted by T M on 26-12-2013 - 19:46 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho $x;y;z>0$, chứng minh
$$\frac{1}{3}\left ( \sum \frac{yz}{x^2} \right )+\left [ \frac{xyz(x+y+z)}{\sum x^2y^2} \right ]^2 \geq 2$$
Posted by T M on 23-10-2013 - 18:28 in Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
phải là $2^x=(y+1)^2-65$ chứ
sai rồi $x=10,y=32$ là nghiệm đó
Mình nhầm, sửa lại một chút, tưởng bài này ngon
Phương trình tương đương $$2^x+65=(y+1)^2$$
+ Nếu $(y+1)^2 \equiv 0 (\mod 2)$ thì phương trình vô nghiệm.
+ Nếu $(y+1)^2 \not\equiv 0 (\mod 2)$ thì đặt $t=y+1$, và $ t^2 \not\equiv 0(\mod 2)$.
Viết lại phương trình dưới dạng $$2^x+65=t^2$$
Vì $t^2 \equiv 1;4 (\mod 5)$ nên $2^x \equiv 1;4 (\mod 5)$. Tính $2^1;2^2;...$ thì suy ra $2^x \equiv 1;4 (\mod 5)$ suy ra $x \equiv 0;2 (\mod 4)$.
Nên $x$ chẵn. Suy ra $$\left (2^{\frac{x}{2}}-t \right) \left (2^{\frac{x}{2}} +t \right) =-65$$
Dễ có $-65=-65.1=-5.13$. Vì $t;x>0$. Đến đây giải hệ là được.
Posted by T M on 23-10-2013 - 17:41 in Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Câu 4 (3 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn $2^{x}-y^{2}-2y+64=0$
Câu 4: Phương trình tương đương $$2^{x}=(y+1)^2+63$$
Dễ thấy $2|2^{x}$ với nguyên dương và $(y+1)^2+63 \not\equiv 0 (\mod 2)$. Suy ra phương trình vô nghiệm $\blacksquare$.
Posted by T M on 22-10-2013 - 17:48 in Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Câu 1:(5đ)
Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 11+\sqrt{3-x}+3y\sqrt{2-y}=8\sqrt{2-y}+3x\sqrt{3-x} & \\ \sqrt{x+2}+\sqrt{2-y}=x^3+y^2-2y-4 & \end{matrix}\right.$
Câu 2:(4đ) Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi
$\left\{\begin{matrix} x_1=\frac{1}{4} & \\ x_{n+1}=\frac{x_n}{1+2x_n+2\sqrt{x_n^2+2x_n}}, \forall n \in \mathbb{R} & \end{matrix}\right.$
Đặt $y_n=\sum_{n}^{k=1}x_k$. Tìm $\lim y_n$
Câu dãy chứng minh được $x_n \to 0$. Suy ra $\frac{\sum x_k}{n} \to 0$. :|
Posted by T M on 22-10-2013 - 15:25 in Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Cậu 5: (3đ)
Cho 10 số nguyên dương $a_1, a_2,..... a_10$. Chứng minh rằng tồn tại các số $x_i \in \begin{bmatrix} -1;0;1 \end{bmatrix}$ không đồng thời bằng không với $i=1,2,....,10$ sao cho số $\sum_{i=1}^{10}x_ia_i \vdots 1023$
Giải.
Xét các số có dạng $A_j=\sum^{10}_{i=1}b_ia_i$, trong đó$b_i=\{0;1\}$, $a_i ; i= \overline{1;10}$.
Dễ thấy có $2^{10}=1024$ số như vậy. Khi đó trong các $A_j$ sẽ tồn tại $2$ số $A_k$ và $A_h$ thỏa mãn $A_k \equiv A_h (\mod 1023) \Longrightarrow A_k-A_h \equiv 0 (\mod 1023)$. Điều này chứng tỏ rằng $$\sum (b_{ki}-b_{hi})u_i \vdots 1023 ; i=\overline{1;10} ; b_{ki}=\{0;1\}$$
Đặt $b_{ki}-b_{hi}=x_i$ thì dễ thấy $x_i=\{-1;0;1\}$. Từ đó có đpcm $\blacksquare$.
Posted by T M on 21-10-2013 - 22:17 in Số học
Lại có:
\[X > Y \ge 1 \Rightarrow {t_2} = \dfrac{{{Y^2} + 1}}{X} < X\]
Cho nên $(t_2;Y)$ là một bộ số nguyên dương khác thỏa đề mà $t_2+Y<X+Y$: trái với cách chọn $(X;Y)$.
Vậy $X=Y$
\[k = \dfrac{{{X^2} + {Y^2} + 1}}{{XY}} = \dfrac{{2{X^2} + 1}}{{{X^2}}} = 2 + \dfrac{1}{{{X^2}}} \in \mathbb{N} \Rightarrow {X^2}|1 \Rightarrow {X^2} = 1 \Rightarrow k = 3\]
Sao lại có $t_2<X$ nhỉ
Posted by T M on 21-10-2013 - 20:15 in Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Câu 1.
Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $x_1=1$ và :
$$x_{n+1}=\sqrt{x_n^2+2x_n+2}-\sqrt{x_n^2-2x_n+2}\,\,\,\forall n\in\mathbb{N}^{*}$$
Chứng minh rằng dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to +\infty$
Câu 2.
Tìm tất cả nghiệm thực của hệ :$$\left\{\begin{matrix} x+x^2y=y+2\\ (2x+y)^2+3y^2=12 \end{matrix}\right.$$
Nháp một lúc thì ra được câu hệ. Đặt $x+y=u$ và $x-y=v$, thay vào phương trình $(1)$ suy ra $$4(u+v)+(u^2-v^2)(u+v)=4(u-v)+16 \Longleftrightarrow 4(u+v-4)+(u-v)\left[ (u+v)^2 - 4 \right] = 0 \Longleftrightarrow (u+v-4)(4+(u-v)(u+v+4))=0$$
Từ phương trình $(2)$ ta được $3u^2+v^2=12$. Đến đây công việc khác là đơn giản
Posted by T M on 21-10-2013 - 19:55 in Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Câu 1.
Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $x_1=1$ và :
$$x_{n+1}=\sqrt{x_n^2+2x_n+2}-\sqrt{x_n^2-2x_n+2}\,\,\,\forall n\in\mathbb{N}^{*}$$
Chứng minh rằng dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to +\infty$
Câu này chắc là đơn giản nhất.
Xét $f(x)=\sqrt{x^2+2x+2}-\sqrt{x^2-2x+2}$, có $f'(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}-\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}}$.
Ta chứng minh rằng $f'(x)>0$, thật vậy, xét hàm $f(t)=\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}$, có $f'(t)=\left(t^2+1 \right)^{-1/2}+2t^2\left(t^2+1 \right)^{-3/2}>0$, nên $f(x+1)>f(x-1)$ hay $f'(x)>0$.
Từ đó chỉ cần tính $x_2$ và so sánh $x_2$ với $x_1$ là bài toán được giải quyết $\blacksquare$.
Posted by T M on 16-10-2013 - 07:01 in Dãy số - Giới hạn
Cho U1=1 và Un+1= $\sqrt{1+U_{n}(U_{n}+1)(U_{n}+2)(U_{n}+3)}$
Tìm lim $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{U_{i}+2}$
Hướng dẫn: Nhân trong căn ra và nhóm lại được bình phương đủ.
Posted by T M on 15-10-2013 - 20:30 in Bất đẳng thức và cực trị
cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1.CMR
$\sum \sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \sqrt{3}$
Chứng minh:
Hãy chỉ ra rằng,
$$\sum \sqrt{a^2+ab+b^2} \geq \sum \frac{\sqrt{3}}{2} \left ( a+b \right)$$
Bằng cách biến đổi tương đuơng theo từng cặp.
Posted by T M on 15-10-2013 - 06:14 in Số học
Cho n$\epsilon N$ thỏa mãn $2^{n}-1$ là số nguyên tố. Chứng minh n là số nguyên tố.
Ta sẽ chứng minh điều này bằng phản chứng.
+ Đầu tiên, ta chứng minh rằng, $n$ không thể $=1$. Điều này khá hiển nhiên, bạn tự làm.
+ Giờ ta sẽ chứng minh, với $n \neq 1$, $2^n-1$ là $1$ số nguyên tố, thì $n$ không phải hợp số. Giả sử trái lại, tức $n$ là hợp số, thì ta sẽ có $n=pq$, trong đó $p,q>1$ và nguyên. Khi đó,$$2^n-1=2^{pq}-1=\left(2^p \right)^q-1^q=(2^p-1)[2^{p(q-1)}...+1]$$ Hiển nhiên $2^n-1$ là hợp số. Vô lí, vậy giả sử sai. Ta có đpcm $\blacksquare$.
Posted by T M on 14-10-2013 - 05:53 in Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Từ đây suy ra:
$$f(xy)=^{(4)}f(x)^2+f(y)^2=^{(3)}2f(\sqrt{xy})^2$$
Biến ở VT xác định trên $\mathbb{R}$ biến ở VP có tập giá trị trên $[0;+\infty)$. Lời giải trên chưa chặt chẽ. Phải giải thêm một trường hợp nữa mới được.
Dạng bài này xuất hiện khá nhiều. Thế $x=\frac{2014}{y}$ là được.
Posted by T M on 12-10-2013 - 19:31 in Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Không suy được toàn ánh như vậy.
Nếu giả sử tồn tại $a$ sao cho $f(a)=0$ thì thay $x=a$ ta được $f(ay)=2a$ với mọi $y\in \mathbb{R}$
Vì $f$ không thể là hàm hằng nên $a=0\Rightarrow f(0)=0$
Xét $x\neq 0$. Thay $y=\frac{x}{f(x)}$ ta được $f(\frac{x^{2}}{f(x)}+f(x))=2x\forall x\neq 0$
Từ đó và $f(0)=0$ ta suy ra được $f$ toàn ánh.
Mình nghĩ là nếu đưa về dạng $f(f(x))=ax$ thì suy luôn được song ánh rồi chứ nhỉ
Posted by T M on 12-10-2013 - 18:59 in Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
không thể suy ra toàn ánh như kiểu của bạn được đâu
Bạn giải thích kĩ hơn hộ mình một chút được không ? Sao lại không suy ra toàn ánh được nhỉ ?
Với lại thế $u=x+f(x)$ thì có cần điều kiện gì không ?
Posted by T M on 12-10-2013 - 18:14 in Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Bài làm của mình, nhưng mình cũng đang phân vân chỗ $f$ toàn ánh, không biết thế có đúng không ?
Với lại, khi thế $u=x+f(x)$, có cần điều kiện gì không nhỉ ?
Posted by T M on 28-09-2013 - 22:16 in Dãy số - Giới hạn
Dễ dàng chứng minh được $x_n\geq 2$ với mọi $n$
Chứng minh sao bạn?
Thực ra thì chứng minh $x_n$ là dãy tăng, nên hiển nhiên, $x_n>x_1=2$.
Posted by T M on 25-09-2013 - 20:22 in Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Bài phương trình hàm giải thế này không biết ổn không
Vậy hàm cần tìm là $f(x)=-x^2-x$.
Posted by T M on 24-09-2013 - 23:40 in Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Câu hệ nhân liên hợp phương trình $(2)$.
Câu dãy khai triển trong căn, nhóm được một bình phương đủ. Chứng minh dãy tăng, không tồn tại giới hạn hữu hạn. Phần b) quen thuộc, xuất hiện nhiều rồi. Hướng là tạo ra các hiệu liên tiếp rồi triệt tiêu.
Đề nhìn chung là không mới
Posted by T M on 17-09-2013 - 18:10 in Dãy số - Giới hạn
Tuyến tính hóa dãy đã cho, ta được công thức truy hồi sau:
$$u_1=1 ; u_2=2 ; 14u_{n+1}-47u_n-3u_{n-1}=1$$
Đến đây, dùng phương pháp sai phân ta được công thức tổng quát của $u_n$.
Posted by T M on 15-09-2013 - 11:09 in Dãy số - Giới hạn
Anh có thê dùng công thức:
$\beta(x)$ là VCB cấp cao hơn $\alpha(x)$ khi $x\to x_0\to \alpha(x)+\beta(x)\sim \alpha(x)$ để giải bài này được không?
Năm nay em mới lớp 12 thôi. Khái niệm vô cùng bé em cũng biết qua loa thôi ^^. Bài này em chỉ biết giải bằng cách cấp 3.
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học