Cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$

P.s: diendan hoạt động trở lại mừng quá

Cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$

P.s: diendan hoạt động trở lại mừng quá

Mình vừa thấy lời giải của bài này. Qui đồng rồi áp dụng

Bổ đề: $\sum \dfrac{ab}{c} \ge \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$ và $\sum \dfrac{a^2}{b} \ge \dfrac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}$

Từ cái giả thiết, ta có

$ab+bc+ac=1$ với $(a,b,c)=(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$

Cần cm

$\sum a+\sum \sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \frac{1}{abc}$

Am-Gm vài lần là ra

Từ cái giả thiết, ta có

$ab+bc+ac=1$ với $(a,b,c)=(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$

Cần cm

$a+b+c+\sqrt{(a+b)(a+c)}+\sqrt{(a+b)(b+c)}+\sqrt{(a+c)(b+c)}\leq \frac{1}{abc}$

Am-Gm vài lần là ra

$\sum_{sym}$ có nghĩa là tổng đối xứng 

$\sum_{cyc}$ có nghĩa là tổng hoán vị

khi viết rút gọn thì có thể hiểu là tổng hoán vị 

Giải hệ phương trình sau:

     $\left\{\begin{matrix} x+\sqrt[3]{5y-(x+1)^3}=4-\frac{17x+9}{2y^2} \\ y^3-3y^2-4=x^3+3(x-3y) \end{matrix} \right.$

Từ phương trình 2 có thể đưa về 

$a^3+3a=x^3+3x$ với $a=y-1$

Suy ra $x=y-1$

Cho a; b;c > 0 sao cho a+b+c =3 

CMR ; $\frac{1}{a^{2}}$ + $\frac{1}{b^{2}}$ + $\frac{1}{c^{2}}$ $\geq$ a² + b² +c²

UCT time

có thể hỏi hơi stupid nhưng mk không hieeur sao lại đưa về dc dạng này. (nếu đưa về vậy thì vẫn thừa 3y mà nhỉ)

thử thế vào xem

vừa đủ đấy

Bài 83: Cho m;n nguyên dương thỏa $m+n+1$ là 1 ước nguyên tố của $2(m^{2}+n^{2})-1$. Chứng minh mn là số chính phương.

GS $m\geq n$ 

Nên từ giả thiết 

$2(m^2+n^2)-1=(m+n)^2+(m-n)^2-1$ suy ra $(m-n)^2\vdots m+n+1$ mặt khác nó lại là số nguyên tố nên

là

TH1;

$m-n\geq  m+n+1$ vô lí nên suy ra 

TH2:

$m-n=0$ nên $m=n$ hay đpcm

P.s: dạo này luyện đề bận wa, chỉ kịp lên lấy vài bài về làm

Mình chưa rõ bài này làm thế nào. Mọi người có thể giúp mình được không ạ? Đây là dạng cực trị tại biên.

Cho các số x, y không âm thỏa mãn $x^{3}+y^{3}$ = 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của:

 

A = x+y

 

B = $x^{2}+y^{2}$

Phần Min câu a) bạn mũ 3 lên rồi dùng gt là đc

câu b) đổi biến p-q rồi Am-Gm 3 số là xong 

Bài nào cũng có 1 biến bằng 0 nhé

Cho những ai quan tâm đến nghiệm

${x = y = 0},; {x = y = \frac{-4}{3}}$

$\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}=2 & \\ y^2+2y+2=(y+2)\sqrt{x^2+1} & \end{matrix}\right.$
P/s: ở vmf lúc trước nhưng chưa có lời giải
 

Sr mọi người : mk làm hơi fail

Bài 91: Tìm nghiệm nguyên là các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn

$p+q=(p-q)^3$

how to

Power of computer

Bảng điểm:
Hoang72: 1 điểm

Bài toán tiếp theo:
$\boxed{2}$ Chứng minh với 4 số thực không âm bất kì $a,b,c,d$ ta có:
$(ab)^{\frac{1}{3}}+(cd)^{\frac{1}{3}} \geq [(a+c+b)(a+c+d)]^{\frac{1}{3}}$

Nếu như em ko nhầm thì nó sai với $a=b=c=d=1$
P.s: em dùng dth nên ko chỉnh được, lát e chỉnh lại sau ạ

Bài toán tiếp theo: 

$\boxed{2}$ Chứng minh với 4 số thực không âm bất kì $a,b,c,d$ ta có:

$(ab)^{\frac{1}{3}}+(cd)^{\frac{1}{3}} \leq [(a+c+b)(a+c+d)]^{\frac{1}{3}}$

Bài viết trích dẫn bđt trong sol https://diendantoanh...r-và-minkowski/

Thật may mắn khi phone của e có thể chuyển qua desktop mode

P.s: sr mng vì em áp dụng bđt phụ sai

Chắc có gì đó nhầm lần vì điểm rơi là $b=d=2a=2c$.

Vâng ạ

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2$. Chứng ming rằng: $\sum \frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leqslant 4(\sum \frac{(\sqrt{a}-1)^2}{\sqrt{b}})$

Ta có hàng đẳng thức quen thuộc $\sum \frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sum \frac{b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

Hay cần cm $\sum \frac{b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leqslant 2(\sum \frac{(\sqrt{a}-1)^2}{\sqrt{b}})$

Áp dụng bđt quen thuộc thì 

$\frac{(\sqrt{a}-1)^2}{\sqrt{b}}+\frac{(\sqrt{b}-1)^2}{\sqrt{c}}\geq \frac{c}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

Thiết lập tương tự rồi cộng lại là đpcm

P.s: Cho mk hỏi riêng bài 3 này thì bạn kiếm trong sách nào v??

Bài làm rất tốt. Bây giờ ta sẽ bắt đầu thử sức với một bài khó để thử trình độ các bạn nhé:

 

$\boxed{5}$ Cho $a,b,c$ là số dương thỏa $x^2+y^2+z^2=1$. Chứng minh rằng: 

$$ \frac{x}{1-x^2} + \frac{y}{1-y^2} +  \frac{z}{1-z^2} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$$ 

 

*Chú ý: Sử dụng bất đẳng thức Jensen được 2 điểm, các phương pháp khác 1 điểm

Đặt $a=\sqrt{3}x$ và tương tự nên ta có $a^2+b^2+c^2=3$

Cần cm $\sum \frac{a}{3-a^2}\geq \frac{3}{2}$

Xét bđt phụ

$\frac{a}{3-a^2}\geq \frac{a^2}{2}\Leftrightarrow (a-1)^2(a+2)\geq 0$ luôn đúng

Thiết lập tương tự và cộng lại

Xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

cho $abc=1$

cmr :

$\frac{1}{a^3+b+c}+\frac{1}{b^3+c+a}+\frac{1}{c^3+a+b}\leq \frac{a+b+c}{3}$

Dễ thấy $VP\geq 1$

CM $VT\leq 1$

Áp dụng CS

$\sum \frac{1}{a^3+b+c}=\sum \frac{bc+b+c}{(a^3+b+c)(bc+b+c)}\leq \sum \frac{bc+b+c}{(a+b+c)^2}\leq \frac{t^2+6t}{3t^2}\leq 1$ 

Với $t=a+b+c$ 

tương đương $t\geq 3$ đúng

aida

chuyển vị

Làm giúp em với a 

ko cần chuyển vị nữa

cái này đỗi xứng rồi mà 

Này nhá

$(a^2+bc+b^2)(b^2+ab+c^2)-(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)\geq 0$ tương đương $b(a+c)(a-c)^2\geq 0$ 

sau đó làm giống thầy Cẩn'

File cho e

 K2pi.Net.Vn---PP Chuyen Vi ( Vo Quoc Ba Can ).pdf   171.55K   348 Số lần tải

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng

$\sum_{cyc} \frac{1}{a(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

https://artofproblem...quality_problem

 

Lời giải sử dụng bđt Vasile 

Tử mẫu đồng bậc nên chia rồi đổi biến

2 cái đầu bậc 2, cái kia bậc 1 mà bác ?

chia thoải mái đi