http://diendantoanho...e-2#entry509787

1. Cho (O_1;R₁); (O₂;R₂) cắt nhau tại A và B(O₁, O₂ ở 2 phía đối với AB). 1 cát tuyến D qua A cắt (O₁),(O₂) tại C và D. Tiếp tuyến tại C của (O₁) cắt tiếp tuyến tại D của (O₂) tại M. Tìm vị trí của D để $\frac{MC}{R_{1}}+\frac{MD}{R_{2}}$ Max

2. Cho (O₁) và (O₂₎  có bk khác nhau và tiếp xúc ngoài tại A. 1 (O) thay đổi luôn tiếp xúc với O₁O₂ tại A và cắt (O₁), (O₂)tại B và C. CM: BC luôn đi qua 1 điểm cố định.

Nếu là CM: $\sqrt{\frac{a^{3}}{a^3+(b+c)^3}}\geq 1$ thì có vẻ đơn giản hơn.

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c\leq \frac{3}{2}$. Tìm Min 

$P=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$

$(a^{2}+\frac{1}{b^{2}})(\frac{1}{4}+4)\geq (\frac{a}{2}+\frac{2}{b})^{2}$

Tương tự tc: $P.\frac{\sqrt{17}}{2}\geq 0.5(a+b+c)+2\sum \frac{1}{a}\geq 0.5\sum a+\frac{18}{\sum a}=0.5\sum a+\frac{1.125}{\sum a}+\frac{16.875}{\sum a}\geq 1.5+\frac{16.875}{1.5}=12.75$

$\Rightarrow P\geq \frac{51}{2\sqrt{17}}$

Dấu ''='' xr khi a=b=c=0.5

Cho pt: $x^{2}+bx+c=0$ và $x^{2}+cx+b=0$. CMR: có ít nhất 1 trong hai pt trên có nghiệm khi $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$.

$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2(b+c)=bc$

$\Delta _{1}+\Delta _{2}=b^2-4c+c^2-4b=(b^2+c^2)-4(b+c)=b^2+c^2-2bc=(b-c)^2\geq 0\Rightarrow đpcm$

Ở đây bạn!

http://diendantoanho...ơng-trinh-xyyx/

$\Delta =4b^{2}-4b+4> 0\vee b$

$\Rightarrow$ PT luôn có 2 no pb

Theo đ/l Vi-et:   

     $\alpha +\beta =-2b$

     $\alpha .\beta =b-1$

$\Rightarrow \alpha ^{2}+\beta ^{2}=4b^{2}-2b+1$

$\Rightarrow (\alpha -\beta )^{2}=4b^{2}-4b+4=(2b-1)^{2}+3\geq 3$

$\Rightarrow Min(\alpha -\beta )^{2}=3\Leftrightarrow b=1$

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})=(x,y,z)\rightarrow x+y+z=1$

Cần CM: $\sum \sqrt{yz+x}\geq 1+\sum \sqrt{yz}$

Ta có: $y+z\geq 2\sqrt{yz}\Rightarrow x+y+z\geq x+2\sqrt{yz}$

$\Rightarrow x\geq 2x\sqrt{yz}+x^{2}$

$\Rightarrow x+yz\geq yz+2x\sqrt{yz}+x^{2}=(x+\sqrt{yz})^{2}$

$\Rightarrow \sqrt{x+yz}\geq x+\sqrt{yz}$

Tt cộng lại tc đpcm

Mk nghĩ $x\in \mathbb{N}$

$\Leftrightarrow (\frac{3}{5})^x+(\frac{4}{5})^x=1$

$x\in \left \{ 0;1 \right \}(k t/m) ,x=2(t/m) ,x>2. Vì \frac{3}{5}, \frac{4}{5}<1\Rightarrow (\frac{3}{5})^{x}+(\frac{4}{5})^x<(\frac{3}{5})^2+(\frac{4}{5})^2=1(l)$

Vậy x=2

 Tìm nghiệm nguyên:                        

$ \frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}+\frac{xy}{z}=3$

Đk: x, y,z $\neq 0$

$$\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}+\frac{xy}{z}=3$$ nên tồn tại ít nhất 2 số cùng dấu(đirichlet). Gs xy, $\frac{x}{y}, \frac{y}{x}>0$

N z>0 $\Rightarrow 3=\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}+\frac{xy}{z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{yz}{x}.\frac{zx}{y}.\frac{xy}{z}}=3\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow 1\geq xyz$. Mà x,y,z là các số nguyên nên xyz=1 $\Rightarrow (x,y,z)=(-1;-1;1);(1;1;1)$

N z<0  $\Rightarrow \frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}+\frac{xy}{z}<0(l)$

Đk: $-2\leq x\leq 2$

Đặt $\sqrt{2-x}=a,\sqrt{2+x}=b(a,b\geq 0)$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}=4$ thay vào a+b+ab=2 ta được: 

$a+b+\frac{(a+b)^{2}-4}{2}$=2...

Đến đây bạn tự giải tiếp.

Cho a,b>0

tìm GTNN của P=$\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$

P=$\frac{1}{4}.\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}+\frac{3}{4}.\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}\geq \frac{(a+b)^{2}}{8ab}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}+\frac{3}{4}.2$

 $\geq 2\sqrt{\frac{a+b}{8\sqrt{ab}}}+1.5\geq 2\sqrt{\frac{2}{8}}+1.5=2.5$

$\Rightarrow Min P=2.5\Leftrightarrow a=b>0$

$S=1-2+2^{2}-2^{3}+...-2^{2013}+2^{2014}$

$\Rightarrow 2S=2-2^{2}+2^{3}-2^{4}+...-2^{2014}+2^{2015}$

Dđ: $3S=1+2^{2015}\Rightarrow n=\frac{1}{2015}$

Ở đây nè bạn.

http://diendantoanho...e-2#entry509787

Bài toán:

2. Cho $a,b,c,d>0$. Tìm GTNN của $S=(1+\dfrac{2a}{3b})(1+\dfrac{2b}{3c})(1+\dfrac{2c}{3d})(1+\dfrac{2d}{3a})$ 

$Đặt (\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{d};\frac{d}{a})\rightarrow (x,y,z,k)>0\Rightarrow xyzk=1$

$S=1+\frac{2}{3}(\sum x)+\frac{4}{9}(zk+yk+yz+xk+xz+xy)+\frac{8}{27}(zxy+xzk+xyk+xyz)+\frac{16}{81}xyzk\geq 1+\frac{8}{3}\sqrt[4]{1}+\frac{8}{3}\sqrt[6]{1^3}+\frac{32}{27}\sqrt[4]{1^3}+\frac{16}{81}=\frac{625}{81}\Leftrightarrow x=y=z=k>0\Leftrightarrow a=b=c=d>0$

Bài toán:

 

1, Cho số thực dương $a,b$ thỏa: $a+b=2$. Tìm max của $P=a^2b^2(a^2+b^2)$

$P=0.5ab.2ab(a^2+b^2)\leq \frac{(a+b)^2}{8}.\frac{(a+b)^4}{4}=2\Leftrightarrow a=b=1$

$\frac{xyz}{\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )}$

$A \leq \frac{xyz}{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}=0.125\Leftrightarrow x=y=z>0$

$B=\frac{3-A}{2}=\sum \frac{bc}{a+bc}$=$\sum \frac{bc}{(a+b)(a+c)}$

Cần CM A$\leq$ 1.5 $\Leftrightarrow B\geq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{bc}{(a+b)(a+c)}\geq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow 4bc(b+c)+4ca(c+a)+4ab(a+b)\geq 3(a+b)(b+c)(c+a)$

$\Leftrightarrow a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+c^{2}a+ca^{2}\geq 6abc$(luôn đ)

$\Rightarrow$ đpcm

Cho a,b,c>0.CMR$\sum \frac{b^{3}}{a^{2}(a^{3}+2b^{3})}\geq \frac{1}{3}(\sum \frac{1}{a^{2}})$

$\frac{b^{3}}{a^{2}.(a^{3}+2b^{3})}=\frac{1}{2}.(\frac{1}{a^{2}}-\frac{a}{a^{3}+2b^{3}})= \frac{1}{2}.(\frac{1}{a^{2}}-\frac{a}{a^{3}+a^{3}+b^{3}})\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{3ab})$

Tương tự tc: VT $\geq \frac{1}{2}.(\sum \frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{3}.\sum \frac{1}{ab})\geq VT$(đpcm)

Cho tam giác ABC vuông tại A(AB<AC). Đường cao AH. O là trung điểm của BC. Đường tròn (I) đường kính AH cắt AB,AC lần lượt tại M và N. AO cắt MN tại D.

a. Chứng minh: Tứ giác BMCN nội tiếp

b. MN cắt BC tại P, AP cắt (I) tại K. Tính góc BKC.

$2x^{2}-\left ( 4a+\frac{11}{2} \right )x+4a^{2}+7=0$

$\Leftrightarrow 4a^2-4ax+(2x^2-3.5x+7)=0.\Delta '=(x-2)(3.5-x)\geq 0\Leftrightarrow 2\leq x\leq 3.5\Rightarrow x\in \left \{ 2;3 \right \}\Rightarrow ...$

http://diendantoanho...-p-a3b3c3-3abc/

Tìm tất cả các số nguyên tố a,b,c thõa mãn: $a^{b}+b^{a}=c$

$a,b\geq 2\Rightarrow c>2\Rightarrow c lẻ$ $\Rightarrow a, b k cùng tính chẵn lẻ$

Do vai trò của a,b là như nhau. K mất tính tổng quat gs b chẵn $\Rightarrow b=2\Rightarrow a^{2}+2^{a}=c$

N a=3 $\Rightarrow c=17(t/m)$

N $a\neq 3\Rightarrow a^{2}=3k+1(k\in \mathbb{N}, \neq 0)$

Mà $2^{a}=(3-1)^{a}=3n-1(a lẻ)$$(n\in \mathbb{N},\neq 0)$

$\Rightarrow c=3(k+n)(l)$

Vậy (a,b,c)=(2;3;17);(3;2;17)

Cho tam giác ABC cân tại A, đường tròn (O) tiếp xúc với AB và AC tại B và C. Lấy M thuộc cung BC nhỏ. Kẻ MD vuông góc với BC, MẸ  vuông góc với AC,MF vuông góc với AB. Xác định vị trí điểm M để MD.ME.MF đạt giá trị lớn nhất.

http://diendantoanho...4xy-1/&langid=2