Bài toán: Cho $A\left ( 1;0 \right )$ và hai điểm $B$, $C$ thuộc hai đường tròn $x^2+y^2=2$ và $x^2+y^2=5$. Tìm vị trí của $B$ và $C$ trên hai đường tròn sao cho diện tích tam giác $ABC$ đạt giá trị lớn nhất.

Bài toán: Cho đường tròn $T_1$ tâm $O_1$ bán kính $R_1$ và đường tròn $T_2$ tâm $O_2$ bán kính $R_2$. Tìm điểm $M$ sao cho tỉ số các phương tích của nó đối với hai đường tròn đã cho bằng hằng số đại số $k$, với $k\neq 1$.

Bài toán: Cho các số thực dương $x$, $y$, $z$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh rằng: $\sqrt{3-xy}+\sqrt{3-yz}+\sqrt{3-zx}\geq 3\sqrt{2}$.

Các anh chị thấy quyển Lượng giác của THPT Lê Hồng Phong có nên mua không?Ngoài ra có quyển nào thật hay và khó k?Em cảm ơn trước.

Trích nguyên văn câu nói của thầy Quang dạy mình về quyển sách này: "Sách này dùng để ôn thi đại học thì khá tốt còn dùng để học chuyên thì chưa đủ, bên ngoài ghi là dùng cho lớp chuyên mà thực ra không phải vậy đâu". Đến đây bạn suy nghĩ xem nhé

Bài toán: Cho tam giác $ABC$ với $M$, $N$ là hai điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Giả sử góc giữa hai đường thẳng $AM$ và $AN$ bằng $\alpha$ $(0^\circ\leq \alpha\leq 90^\circ)$. Gọi $d$ và $\Delta$ là hai đường thẳng Simson loại hai tương ứng với các điểm $M$, $N$ và góc tạo bởi $BC$ với $MP$, với $MQ$ ($P$, $Q$ thuộc $BC$ đều bằng góc $\alpha$. Khi đó góc giữa hai đường thẳng $d$ và $\Delta$ bằng bao nhiêu?

Em cũng chưa biết làm thế nào để nhận phần thưởng ạ ? ( Ví dụ tham gia MSS 2013 )

Em biết là tham gia MSS sẽ có giải nhưng phải có thứ hạng bao nhiêu mới được giải ạ ?

Các cuộc thi này giống như các cuộc thi khác, các giải nhất, nhì, ba mới có giải bạn à.

Bài toán: Cho hai số thực dương $a$, $b$ thỏa mãn $a^{7}+b^{7}=a^{3}+b^{3}$. Chứng minh rằng $a^{4}+b^{4}\leq 2$.

Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ thì $2p+1$ là số nguyên tố còn $4p+1$ là hợp số.

Bạn xem lại đề nhé, với $p=7$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ thì $2p+1=2.7+1=15$ không là số nguyên tố.

$(x-m)m^2=(3-2m)x -m$

Đã gửi ở đây rồi, lần sau không post bài trùng lặp bạn nhé

$(x-m)m^2=(3-2m)x -m$

Lời giải:
$\left ( x-m \right )m^2=\left ( 3-2m \right )x-m\\ \Leftrightarrow \left ( m^2+2m-3 \right )x=m^3-m$
*) Nếu $m^2+2m-3=0$ tương đương với $m=1$ hoặc $m=-3$.
Với $m=1$ phương trình trở thành: $0x=0$ (vô số nghiệm).
Với $m=-3$ phương trình trở thành: $0x=-24$ (vô nghiệm).
*) Nếu $m^2+2m-3\neq 0$ tương đương với $m\neq 1$ và $m\neq -3$ thì phương trình có nghiệm $x=\dfrac{m^3-m}{m^2+2m-3}$.
Kết luận:
- Với $m=1$ thì phương trình có vô số nghiệm.
- Với $m=-3$ thì phương trình vô nghiệm.
- Với $m\neq 1$ và $m\neq -3$ phương trình có nghiệm duy nhất $x=\dfrac{m^3-m}{m^2+2m-3}$. $\blacksquare$

Cho a,b>0; $ab\leq 1$. CM:

$\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}\leq \frac{2}{ab+1}$

Hình như đây là bất đẳng thức Jensen bạn có thể tham khảo cách chứng minh với trường hợp $ab\leq 1$ trong các tài liệu khác.
====

Bài toán: Cho dãy các số nguyên tố $p_{1}$, $p_{2}$,... thỏa mãn tính chất: $p_{n}$ là ước số nguyên tố lớn nhất của $p_{n-1}+p_{n-2}+2000$ với mọi $n\geq 3$. Chứng minh rằng dãy trên bị chặn.

Đề MSS trận 9: Cho hai số tự nhiên $a$ và $b$ sao cho $a>b$ và tổng $a+b$ chia hết cho $2$. Chứng minh rằng $a^{2}-a-b^{2}$ không thể là số chính phương.

(Toán thủ ra: minhhieukaka)

Bài toán: Cho các số thực dương $a$, $b$, $c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng: $\sum \dfrac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}\leq \dfrac{3}{2}$.

..mọi người cho mình xin tài liệu về số nguyên Gauss nha :')

Không biết mấy cái này có giúp được không
http://tailieu.vn/xe...ss.1119150.html
http://www.kilobooks...số-nguyên-Gauss
P/s: Chưa có tài khoản thì pm tui cho

Cho A={0,1,2,3,4,5}. Tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 4

Theo mình nghĩ lời giải là như vầy (sai ở đâu mọi người cứ nói nhé )
Lời giải:
Vì số gồm $4$ chữ số đó chia hết cho $4$ nên hai chữ số tận cùng chỉ có thể là: $40$, $12$, $32$.
- Nếu lấy số $40$ làm hai chữ số tận cùng thì có $C^{1}_{4}=4$ cách chọn chữ số hàng trăm và có $C^{1}_{3}=3$ cách chọn chữ số làm hàng nghìn.
- Nếu lấy số $12$ làm hai chữ số tận cùng thì có hai trường hợp:

+ Có $C^{1}_{3}=3$ cách chọn chữ số hàng trăm (không chọn chữ số $0$) và khi đó có $C^{1}_{2}=2$ cách chọn chữ số hàng nghìn (không chọn chữ số $0$).

+ Có $C^{1}_{1}=1$ cách chọn chữ số hàng trăm (tức là chọn chữ số $0$) thì khi đó có $C^{1}_{3}=3$ cách chọn chữ số hàng nghìn.

- Nếu lấy số $32$ làm hai chữ số tận cùng thì có hai trường hợp:

+ Có $C^{1}_{3}=3$ cách chọn chữ số hàng trăm (không chọn chữ số $0$) và khi đó có $C^{1}_{2}=2$ cách chọn chữ số hàng nghìn (không chọn chữ số $0$).

+ Có $C^{1}_{1}=1$ cách chọn chữ số hàng trăm (tức là chọn chữ số $0$) thì khi đó có $C^{1}_{3}=3$ cách chọn chữ số hàng nghìn.

Vậy theo quy tắc nhân và quy tắc cộng, số cách chọn các số thỏa mãn yêu cầu đề bài là: $4.3+3.2+1.3+3.2+1.3=30$. $\blacksquare$

Theo mình thì 2 chữ số cuối cũng có thể là 04, 52, 24,20. Vậy có nhiều trường hợp. Có thể trình bày rút gọn hơn không

Ờ ha, mình thiếu cái trường hợp $04$ và $24$. Với trường hợp $04$ thì làm như $40$ còn $24$ thì như $12$ và $32$ .

Bài toán: Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt[3]{\dfrac{x^{9}+9x^{2}-1}{3}}=2x+1$;
b) $8x^{3}-4x-1=\sqrt[3]{6x+1}$;
c) $32x^{5}-40x^{3}+10x-1=0$;
d) $8x^{4}-4x^{3}-8x^{2}+3x+1=0$.
----

Topic hình như đi trật đường thì phải? Mục đích của em BS là ôn thi học sinh giỏi và ôn thi vào lớp 10 thôi mà sao toàn cho bài như vầy @/_\@.
----
Bài 60: Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho phân số $\dfrac{21n+17}{14n+3}$ là số nguyên.

Bài 61: Chứng minh rằng nếu $p$ và $8p^{2}+1$ là số nguyên tố lẻ thì $8p^{2}+2p+1$ là số nguyên tố.

Bài toán: Cho dãy số $\left ( u_{n} \right )$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_{1}=\sqrt{2} \\ u_{n+1}=\dfrac{u_{n}+\sqrt{2}-1}{\left ( 1-\sqrt{2} \right )u_{n}+1} & \end{matrix}\right.$. Tính $u_{2012}$.

Giải hệ pt sau:
$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x^2-2x+6}.log_{3}(6-y)=x
& & \\\sqrt{y^2-2y+6}.log_{3}(6-z)=y
& & \\\sqrt{z^2-2z+6}.log_{3}(6-x)=z
\end{matrix}\right.$

Đây chính là bài VMO 2006 mà bạn. Bạn chịu khó xem đáp án tiếng Anh nhé, khi nào rảnh mình dịch (chính xác hơn là nhờ người dịch =))~).
----
Solution:
The domain of definition of the system is $x$, $y$, $z<6$. Then the system is equivalent to:

$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-2x+6}}=\log_{3}\left ( 6-y \right )
& & \\ \dfrac{y}{\sqrt{y^{2}-2y+6}}=\log_{3}\left ( 6-z \right )& & \\ \dfrac{z}{\sqrt{z^{2}-2z+6}}=\log_{3}\left ( 6-x \right )
\end{matrix}\right.$$
Consider a function $f\left ( x \right )=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-2x+6}}, \ \ x<6$ which has a derivative $f'\left ( x \right )=\dfrac{6-x}{\left ( x^{2}-2x+6 \right )\sqrt{x^{2}-2x+6}}>0, \ \ \forall x<6$ and so $f\left ( x \right )$ is increasing, while a function $g\left ( x \right )=\log_{3}\left ( 6-x \right ), \ \ \forall x<6$ is obviously decreasing.
Let $\left ( x,y,z \right )$ is a solution of system. We prove that $x=y=z$.
Without loss of generality, we can assume that $x=\max \left \{ x,y,z \right \}$. There are two cases:

Case 1: $x\geq y\geq z$. In this case, since $f\left ( x \right )$ increases, $\log_{3}\left ( 6-y \right )\geq \log_{3}\left ( 6-z \right )\geq \log_{3}\left ( 6-x \right )$ and hence , since $g\left ( x \right )$ decreases, $x\geq y\geq z$. Then $y\geq z$ and $z\geq y$ give $y=z$ and therefore $x=y=z$.

Case 2: $x\geq z\geq y$. Similarly, we get $x\geq z$ and $z\geq x$ which give $x=z$ and therefore $x=y=z$.

Thus the system becomes $f\left ( x \right )=g\left ( x \right )=6, \ \ x<6$. Note that $f\left ( x \right )$ icreases, and $g\left ( x \right )$ decreases, then the equation $f\left ( x \right )=g\left ( x \right )$ has at most one solution. Since $x=3$, as can be easily seen, is a solution, the unique solution of the equation, and therefore, of the system, is $\left ( 3,3,3 \right )$. $\blacksquare$

1) Cho a,b,c là các số dương bất kì.
CMR: $1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2$

Tuổi nhỏ làm việc nhỏ tùy theo sức của mình
----
Lời giải:
Do $a$, $b$, $c>0$ nên $\dfrac{a}{a+b}<1$, vì vậy: $\dfrac{a}{a+b+c}<\dfrac{a}{a+b}<\dfrac{a+c}{a+b+c}$.
Tương tự ta có: $\dfrac{b}{a+b+c}<\dfrac{b}{b+c}<\dfrac{b+a}{a+b+c}$ và $\dfrac{c}{a+b+c}<\dfrac{c}{a+c}<\dfrac{c+b}{a+b+c}$.
Cồng vế theo vế các bất đẳng thức tương tự ta thu được điều phải chứng minh. $\blacksquare$
----
Phương pháp giải bài này là phương pháp sử dụng tổng sai phân (theo như anh Cẩn nói ^^)
----
Câu 2 có nhiều trên diễn đàn rồi bạn chịu khó tìm nhé

Có anh em nào "bình an" sau cơn bão 20-10 quét qua không
Riêng mình thì "nguyên vẹn". Lớp mình có tổ chức cho mấy đứa con trai tặng hoa cho mấy bạn nữ (mình cũng tham gia, tặng con bạn thân, cũng vui lắm )
Anh em có kỉ niệm gì thì kể ra nghe nào

Báo cáo anh là em vẫn còn "bình an" sau cơn bão . Hôm 20/10 mấy anh 12 chuyên Lý tổ chức tặng mấy chị hoành tráng cực, còn các thầy cô thì hôm đó tổ chức tiệc gì nữa .

Bài toán: Cho tam giác $ABC$ có $H$ là trực tâm. Chứng minh rằng: $\tan A.\overrightarrow{HA}+\tan B.\overrightarrow{HB}+\tan C.\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$.

Hình như là tính được $\tan A=\frac{BC}{HA};\tan B=\frac{AC}{HB};\tan C=\frac{AB}{HC}$(nhờ xét tam giác đồng dạng).Sau đó ta sẽ có :
$\frac{BC}{HA}.\overrightarrow{HA}+\frac{AC}{HB}.\overrightarrow{HB}+\frac{AB}{HC}.\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$(Theo định lý con nhím).
Vậy ta có đpcm.
------------------------------------------
P/S:Bài này cu Việt giải rồi thì phải

Spam tí, Việt giải ở topic nào vậy @@