giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x+y+z=\frac{3}{xyz} & \\\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} = 3 & \end{matrix}\right.$

ĐK x,y,x >0

Từ (PT1) ta có :

$3=xyz(x+y+z)\Leftrightarrow 81=3\sqrt{xy}.3\sqrt{yz}.3\sqrt{xz}(x+y+z)\leq \left [ \frac{3\sqrt{xy}+3\sqrt{yz}+3\sqrt{xz}+x+y+z}{4} \right ]^{4} \Leftrightarrow 81\leq \left [ \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{4} \right ]^{4}\Leftrightarrow 81\leq \left ( \frac{9+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}{4} \right )^{4} \Leftrightarrow \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\geq 3$ (1)

Từ (PT2) có :

$9=(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}\geq 3(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}) \Leftrightarrow \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\leq 3$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra x = y = z = 1 là nghiệm của hệ pt

1b. PT $\Leftrightarrow (x^{2}+x+m+1)[x^{2}-(m+1)x+m+1]=0$

Sau đó giải delta cho từng cái     

Cho $a_{1},a_{2},...,a_{n}>1$. Chứng minh rằng :

$\frac{1}{1+a_{1}}+\frac{1}{1+a_{2}}+...+\frac{1}{1+a_{n}}\geq \frac{n}{1+\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}$

Cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn$abc=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a+b+4}+\frac{1}{b+c+4}+\frac{1}{c+a+4}\le \frac{1}{2}$

Ta có $\frac{1}{a+b+4}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2} \right )$

Do đó VT $\leq \frac{1}{2}\sum \frac{1}{a+2}$

Ta chứng minh $\sum \frac{1}{a+2}\leq 1$

Biến đổi tương đương ta được $ab+bc+ca\geq 3$ ( đúng theo AM-GM)

Vậy BĐT được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Ta có $\left ( a^{2}+b+c \right )\left ( 1+b+c \right )\geq \left ( a+b+c \right )^{2}=9$

suy ra $\frac{1}{a^{2}+b+c}\leq \frac{1+b+c}{9}$

Tương tự, cộng vế theo vế được dpcm

Chứng minh phương trình $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2010}$ luôn hữu hạn nghiệm tự nhiên.

Giải phương trình : $\frac{2-x}{4}=\sqrt{2x-3}-\sqrt[3]{x-1}$

ĐKXĐ :$ x \geq \frac{3}{2} $

$(*) <=> \frac{2-x}{4} = (\sqrt{2x-3}-1)+(1-\sqrt[3]{x-1})$

$<=> \frac{2-x}{4}=\frac{2x-4}{\sqrt{2x-3}+1}+\frac{2-x}{1+\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{(x-1)^2}}$

$<=> (x-2)( \frac{2}{\sqrt{2x-3}+1}+1-\frac{1}{1+\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{(x-1)^2}}=0$

ta có : $x \geq \frac{3}{2} => \sqrt[3]{x-1} >0 => 1+\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{(x-1)^2} >1 =>\frac{1}{1+\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{(x-1)^2}}<1 $

$=>\frac{2}{\sqrt{2x-3}+1}+1-\frac{1}{1+\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{(x-1)^2}} >0$

phải là 1/4 chứ sao lại 1     

Giải phương trình $\frac{2x+3}{x^{2}-4}=\sqrt{x+1}$

Cho ba số a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn $\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0$. Chứng minh trong ba số a,b,c phải có ít nhất một số âm, một số dương.

$\sum \frac{a}{b^{3}+ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\sum \frac{b}{a+b^{2}}\geq \sum \frac{1}{a}-\frac{1}{2}\sum \frac{1}{\sqrt{a}}\geq \frac{(\sum \frac{1}{\sqrt{a}})^{2}}{3}-\frac{1}{2}\sum \frac{1}{\sqrt{a}}$

Đặt $t=\sum \frac{1}{^{\sqrt{a}}}\geq 3$

Ta chứng minh $\frac{t^{2}}{3}-\frac{t}{2}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow (t-3)(2t+3)\geq 0$ (TRUE)

BĐT đc chứng minh

Cho x,y,z > 0, xyz=1. Chứng minh :$\frac{x^{m}}{y^{n}}+\frac{y^{m}}{z^{n}}+\frac{z^{m}}{x^{n}}\geq x+y+z$

Cho các số thực x,y,z. Chứng minh rằng :

$\frac{xyz(x+y+z+\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}})}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(xy+yz+xz)}\leq \frac{3+\sqrt{3}}{9}$

1. Cho a,b,c là các số thực dương. CMR:

$\frac{b^2c}{a^3(b+c)}$+$\frac{c^2a}{b^3(a+c)}$+$\frac{a^2b}{c^3(a+b)}$ $\geq$$\frac{a+b+c}{2}$

2 Cho a,b,c là các số thực dương thay đổi bất kì CMR:

$(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c})^2\geq 4(ab+bc+ca)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$

Câu 1. thay a = b = c = 2 thì BĐT sai

Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn điều kiện $0<x\leq 2\pi$ ; $0<y\leq 2\pi$

$\left\{\begin{matrix} \frac{x}{y}+sinx=m & \\ \frac{y}{x}+siny=m & \end{matrix}\right.$

Đặt x²+y²-1=a, $\frac{y}{x}=b$

$(2)\Leftrightarrow (y-5x-4)(y+x-4)=0\Leftrightarrow y=5x+4 hoặc y=4-x$, thay vào (1)

Ta cần CM (x-1)(y-1)(z-1) > 0 $\Leftrightarrow xyz- (xy+yz+xz)+x+y+z-1> 0\Leftrightarrow x+y+z> xy+yz+xz\Leftrightarrow x+y+z> \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} (Đúng)$

Cho a,b,c,d là độ dài các cạnh của 1 tứ giác, chứng minh rằng :

$\sqrt[3]{\frac{abc+abd+bcd+acd}{4}}\leq \sqrt{\frac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}}$

Tiếp theo là 1 bài tương tự như bài này :

CMR với a,b,c>0 ,abc=1,ta có:

 

$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[5]{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$

Thực chất 2 bài là 1 thôi 

CMR với mọi a,b,c dương ta có:

$(a+b+c)^{5}\geq 81abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Ta có bđt phụ : $3abc\leq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{a+b+c}$

Do đó VP $\leq$  $\frac{27(ab+bc+ca)^{2}}{a+b+c}(a^{2}+b^{2}+c^{2}) =\frac{27}{a+b+c}.(ab+bc+ca)(ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq      \frac{27}{a+b+c}.\frac{[a^{2}+b^{}+c^{2}+2(ab+bc+ca)]^{3}}{27} =\frac{27}{a+b+c}.\frac{(a+b+c)^{6}}{27}=(a+b+c)^{5}$

=> đpcm

Tìm tất cả các số nguyên dương n và số nguyên tố p thỏa mãn đồng thời các điều kiện $n\leq 2p$ và $(p-1)^{n}+1$ chia hết cho $n^{p-1}$

không phải là $(x+\sqrt{1+x^{2}})(y+\sqrt{1+y^{2}})=1$ ak