Bài 2: Tìm số tự nhiên x thỏa mãn

 

c) $\frac{1}{3.5}$ + $\frac{1}{5.7}$ + $\frac{1}{7.9}$ +...+ $\frac{1}{\left(2x+1\right)\left(2x+3\right)}$

Đề thiếu dấu = rồi nhỉ

Dạng bài này nhân thêm 2 rồi có công thức Tổng Quát sau $\frac{2}{n(n+2)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$

Rút gọn nữa là xong

2,Cho $a,b,c$ thỏa mãn $abc>1$ và $a^{3}>36$

Chứng minh $\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}> ab+bc+ca$

Áp dụng bất đẳng thức phụ $xy\leq \frac{(x+y)^2}{4} $ ta có 

$(a+b-c)(a+c-b)\leq \frac{(a+b-c+a+c-b)^2}{4}=a^2 $

Lập các BĐT tương tự nhân lại có đpcm

Uả mà bạn ơi, câu a bân làm là $\sin A+\sin B+\sin C$ mà @@
Ờ đây là nhân, không biết đề trong sách có sai không nhưng thấy ai cũng bảo là cộng hết...

Bạn đang làm là sinA+sinB+sinC  chứ ko fai là sinA.sinB.sinC .Mà tớ thấy cộng ms đúng Vito Khang Scaletta nên xem lại đề.

Đề phải sửa lại mới đúng

 

2) Cho $\Delta ABC$. Chứng minh rằng: 

$\sin A\sin B\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}$

và

$\cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}$

với $A,B,C$ là các góc của $\Delta ABC$.

b/ TT

Xem tại Đây

Nguồn : HM

Bạn ơi xem lại hộ mình cái. Link vào không được 

Vậy bạn xem tại Đây nhá 

Giống nhau thôi bạn....Ở đây mình chỉ trình bày rõ ràng rành mạch chi tiết nên mới dài hơn thôi!

cũng không cần phải dài đâu

làm ngắn thì dễ đọc ,dễ quan sát hơn

ngắn nhưng đủ ý thì hơn là dài 

sao dài thế nhỉ

cách ngắn hơn tại http://diendan.hocma...ad.php?t=405210

  Đk:$x \geq 1$
$(x+5)\sqrt{x+1}+1=\sqrt[3]{3x+4}.1.1 \leq \frac{3x+4+1+1}{3} =x+2 \Leftrightarrow (x+1)^2 \geq (x+5)^2.(x+1) \Leftrightarrow (x+1)(x^2+9x+24) \leq 0 \Leftrightarrow x \leq -1 $
Suy ra: $x=-1$

$\Leftrightarrow (x+1)^2 \geq (x+5)^2.(x+1)$

cái này phải là $(x+2)^2\geq (x+5)^2.(x+1) $

1,Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=2$ Chứng minh $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq 1$

Dùng Cosi cx ra $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\geq a$

TT $\rightarrow$ ◘

Đặt $(a,b,c)=(z,y,x)$ thì bất đẳng thức giờ là $(xy+yz+zx)(x^2y+y^2z+z^2x)\leqslant 9$

Giả sử $y$ nằm giữa $x, z$ thì $(x^2y+y^2z+z^2x)(xy+yz+zx)\leqslant y(xy+yz+zx)(x^2+zx+z^2)\leqslant \dfrac{9y(x+z)^2}{4}\leqslant \dfrac{9(2x+2y+2z)^3}{27.8}=9$

LÀm theo Tam thức bậc 2 thì sao em nhỉ 

bạn ngó kĩ lại đi $(x+5)\sqrt{x+1}+1 \leq x+2 $ mà

Ờ còn con $1$  bên vế trái nữa .  

Cho $a;b;c> 0$ và: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2$. Tìm GTLN của abc

Cho a,b $\epsilon R$ thoả mãn (2+a)(1+b)=$\frac{9}{2}$
Tìm min: P=$\sqrt{16+a^{4}}+4\sqrt{1+b^{^{4}}}$

$ P=\sqrt{16+a^{4}}+4\sqrt{1+b^{4}}\geq\sqrt{(4+4)^2+(a^2+(2b)^2)}$

có 3 nghiệm: $x=(cos\frac{2\pi }{7}, cos\frac{\pi }{9}, \frac{1}{2})$

Thực ra nếu xét $x\in [-1;1]$ thì pt có tất cả 7 nghiệm: $cos\frac{2\pi }{7}, cos\frac{4\pi }{7}, cos\frac{6\pi }{7}, cos\frac{\pi }{9}, cos\frac{5\pi }{9}, cos\frac{7\pi }{9}, \frac{1}{2}$

Giải cụ thể được không bạn ?

Cho $a; b; c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1006$ . Chứng minh:

$\sum_{cyc}^{a; b; c}\sqrt{2012+\frac{(b-c)^2}{2}}\leq 2012\sqrt{2}$

-Vì a;b;c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a/(b+c)<1 => (a+a)/(a+b+c)> a/(b+c). 

-Chứng minh tương tự, ta có: (b+b)/(a+b+c)> b/(a+c) và (c+c)/(a+b+c)> c/(b+a).

-Cộng vế với vế, ta có: a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b) < (a+a+b+b+c+c)/(a+b+c) =2.

Vậy đpcm.

Nhìn rối mắt quá, bạn nên sử dung Latex cho dễ nhìn hơn nhé

 

Cách giải truyền thống:

Giả sử $a=max$ {a,b,c} khi đó,ta có:

$\frac{b}{a+c+1}\leq \frac{b}{b+c+1},\frac{c}{a+b+1}\leq \frac{c}{b+c+1}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$(1-b)(1-c)(1+b+c)\leq (\frac{1+1+1-b-c+b+c}{3})^3=1\Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1-a}{1+b+c}$

$\Rightarrow VT\leq \frac{a+b+c+1-a}{b+c+1}=1$

Dấu bằng khi $a=b=c=0$

 

Cái này nhìn quen quá

Hình như trong sách cũng có 

Giải PT bằng PP Lượng Giác :

$8x(2x^2-1)(8x^4-8x^2+1)=1  , x \in (0;1)$

Giải phương trình $x^{3}-x^{2}+3x-2=0$

Nghiệm pt bậc 3 này lẻ vì vậy bấm máy rồi lấy xấp xỉ

$\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{3}{2}$

Có a,b,c>0 và abc=1

$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{b+a}\geq \frac{3}{2}$

Dùng BDT Cosi

$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b+c}{4}\geq a$

TT rồi cộng theo vế

Cho a, b, c$> 0$ ; abc=1. Tìm GTLN: $\frac{1}{a+2b+3}+\frac{1}{b+2c+3}+\frac{1}{c+2a+3}$

Giả sử các số thực $a , b , c , x , y , z , t$ thoả mãn hệ : $a + b + c + d  = 2 , ax + by + cz + dt = 6$ . Tìm GTNN của biểu thức :

$T = \sqrt{16a^{2} + a^{2}x^{2}} + \sqrt{16b^{2} + b^{2}y^{2}} + \sqrt{16c^{2} + c^{2}z^{2}} + \sqrt{16d^{2} + d^{2}t^{2}}$ 

$$T = \sqrt{16a^{2} + a^{2}x^{2}} + \sqrt{16b^{2} + b^{2}y^{2}} + \sqrt{16c^{2} + c^{2}z^{2}} + \sqrt{16d^{2} + d^{2}t^{2}}\geq \sqrt{(4a+4b+4c+4d)^2+(ax+by+cz+dt)^2}=\sqrt{(4.2)^2+6^2}=10$$