Giải phương trình $13\sqrt{x-1}+9\sqrt{x+1}=16x$

Gieo 1 con súc sắc cân đối liên tiếp $5$ lần độc lập. Tính xác suất để trong 5 lần gieo đó có đúng 2 lần xuất hiện mặt $1$ chấm

Mình có cách khác:

ĐKXĐ: $x\geq 1$

$PT\Leftrightarrow 13.(2.\frac{1}{2}.\sqrt{(x-1)})+3.(2.\frac{3}{2}.\sqrt{(x-1)})=16x $

Theo AM-GM:

$2.\frac{1}{2}.\sqrt{(x-1)}\leq \frac{1}{4}+(x-1) (1)$

$2.\frac{3}{2}.\sqrt{(x-1)}\leq \frac{9}{4}+(x+1) (2)$

Từ (1) và (2)\Rightarrow VT$\leq 13.(\frac{1}{4}+(x-1))+3.(\frac{9}{4}+(x+1))=16x=VP$

$Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow x=\frac{5}{4} (thỏa mãn)$

Bạn cachcach10x ơi cho phép mình đăng lại cách làm của bạn nhé

ĐK : $x\geq 1$

$pt\Leftrightarrow 13.\frac{1}{\sqrt{x}}.\sqrt{1-\frac{1}{x}}+9.\frac{1}{\sqrt{x}}.\sqrt{1+\frac{1}{x}}=16$

áp dụng bđt AM-GM ta có :

$VT$=$\frac{13}{2}.\frac{1}{\sqrt{x}}.2\sqrt{1-\frac{1}{x}}$+$\frac{3}{2}.\frac{3}{\sqrt{x}}.2\sqrt{1+\frac{1}{x}}\\$$\leq \frac{13}{4}(\frac{1}{x}+4-\frac{4}{x})+\frac{3}{4}(\frac{9}{x}+4+\frac{4}{x})=16=VP$

tới đây tư xét dấu bằng : nghiệm là 5/4

cho mình hỏi làm sao bạn biết tách ở những chỗ này thế

$y$ chẵn thì $y=2u$ thì $y^3=8u^3\equiv 0(mod \ 8)\Rightarrow y^3+7\equiv 7(mod\ 8)\Rightarrow x^2\equiv 7(mod \ 8)$

 

U-Th

Sẵn tiện bạn giảng thêm tại sao điều $x^2\equiv y^3+7\equiv 7(mod8)$ lại vô lí

đây là một bài toán khá quen thuộc

nếu $y$ chẵn thì $x^2\equiv y^3+7\equiv 7(mod\ 8)$ 

điều nầy vô lí dẫn đến $y$ lẻ

phương trình ban đầu tương đương $x^2+1=(y+2)(y^2-2y+4)$

$\blacksquare$ với $y=4k+1$

thì $y+2\equiv 3(mod\ 4)$

$\blacksquare$ với $y=4k+3$

thì $y^2-2y+4\equiv 3(mod\ 4)$

vậy ở mọi trường hợp thì $y^3+8$ đều có ước nguyên tố dạng $p=4t+3$

$\Rightarrow p\mid x^2+1\Rightarrow p\mid 1$

điều này vô lí do đó phương trình vô nghiệm

 

U-Th

Cho mình hỏi tại sao y chẵn thì $$x^2\equiv y^3+7\equiv 7(mod\ 8)$$

$y$ chẵn thì $y=2u$ thì $y^3=8u^3\equiv 0(mod \ 8)\Rightarrow y^3+7\equiv 7(mod\ 8)\Rightarrow x^2\equiv 7(mod \ 8)$

 

U-Th

cám ơn bạn tại mình mới học đồng dư nên chưa rành lắm

Để ý $\sqrt{x^2-6x+34}=\sqrt{(3-x)^2+5^2}$ và $\sqrt{x^2-6x+10}=\sqrt{(x-3)^2+(-1)^2}$

 Đặt $\overrightarrow{a}=(3-x;5)$ , $\overrightarrow{b}=(x-3;-1)$

Với mọi $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ ta sử dụng BĐT hiệu vector thì được:

 $| \sqrt{x^2-6x+34} -\sqrt{x^2-6x+10} |\leq 4$

BĐT của các vector xem tại đây http://giaoan.violet...ntry_id/2147900

cho mình hỏi : BĐT hiệu vectơ là $\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |\leq \left | \overrightarrow{a} \right |+\left | \overrightarrow{b} \right |$  vậy $| \sqrt{x^2-6x+34} -\sqrt{x^2-6x+10} |\leq \left | \overrightarrow{\sqrt{(3-x)^2+5^2}} \right |+\left | \overrightarrow{\sqrt{(x-3)^2+(-1)^2}} \right |$ tới đây mình không làm tiếp được

GIải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^2+y^2+xy+2x=7y & & \\ x^3+x^2y-x^2+2xy-6x+3y=0 & & \end{matrix}\right.$

Tìm giá trị lớn nhất của $\left | \sqrt{x^2-6x+34}-\sqrt{x^2-6x+10} \right |$

Với $a,b>0$, chứng minh rằng $16ab(a-b)^2\leq (a+b)^4$

Đặt $y=\sqrt[4]{17-x^8}$ $z=\sqrt[3]{2x^8-1}$

Ta có hệ phương trình sau

$\left\{\begin{matrix}y-z=1 \\ 2y^{4}+z^{3}=34-2x^{8}+2x^{8}-1=33 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y-z=1 \\ 2(1+z)^{4}+z^{3}-33=0(1) \end{matrix}\right.$

$(1)<=>2+8z+12z^{2}+9z^{3}+2z^{4}-33=(z-1)$$(2z^{3}+11z^{2}+23z+31)$$=0<=>z=1$

phương trình này có nghiệm $z=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{59433}}{72}-\frac{91}{27}}+\sqrt[3]{-\frac{\sqrt{59433}}{72}-\frac{91}{27}}-\frac{11}{6}$ thì giải như thế nào vậy bạn

Trong hình vuông có cạnh bằng $1$ đặt $51$ điểm bất kỳ. Chứng minh rằng có ít nhất $3$ trong số $51$ điểm đó nằm trong một hình tròn bán kính $\frac{1}{7}$.

Các bạn giải theo cách lớp 10 nhé

có ở đâyhttp://d.violet.vn/u...291/preview.swf (VD1)

bạn ơi mình chưa hiểu chỗ $IM,IN,IP\leq 0,1.\sqrt{2}< \frac{1}{7}$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :

a) $3(a+b+c)^2\leq (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)$

b) $(ab+bc+ca-1)^2\leq (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)$

Có bao nhiêu cách xếp $3$ nam và $2$ nữ ngồi vào 1 dãy gồm $8$ ghế sao cho các bạn cùng giới tính ngồi kề nhau và giữa 2 nhóm nam,nữ phải có ít nhất $1$ ghế trống

cám ơn các bạn

$a,b,c$ là gì vậy bạn

$a=b=c=0 =>$ bđt sai

nếu $a=b=c=0$ thì vế trái thành $2+\sqrt{2}$,vế phải còn $1$ ,mặc khác $2+\sqrt{2}>1$ vậy BĐT đúng với $a=b=c=0$ mà bạn

Giải phương trình nghiệm nguyên 

a) $x^2-y^3=7$

b) $7(x^2+xy+y^2)=39(x+y)$

Ta có:8=a+b+2c$\geq$2+2c$\Rightarrow c\leq 3$

 Với a,b$\in [1;4]$ và c$\in [1;3]$ ta có:

  P=a³+b³+5c³=(a+b)³-3ab(a+b)+5c³$\leq$(a+b)³-3(a+b)+5c³

 $\Rightarrow P\leq$(8-2c)³-3(8-2c)+5c³=137-(3c³-96c²+378c-351)=137-3(c-3)(c²-29c+39)

 Với  c$\in [1;3]$ thì c²-29c+39$\leq $0 và c-3$\leq $0$\Rightarrow 3(c-3)(c^{2}-29c+39)\geq 0$

 $\Rightarrow P\leq 137$

Dấu = xảy ra khi a=b=1 và c=3

cho mình hỏi làm sao bạn phân tích được ra cái này vậy

Cho $a_{n}=2^{2n+1}+2^{n+1}+1$ và $b_{n}=2^{2n+1}-2^{n+1}+1$.Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên có một và chỉ một trong hai số $a_{n},b_{n}$ chia hết cho $5$

Cho $x,y,z>0,n\in \mathbb{N}^*$ và $xyz=1$. Chứng minh:

a) $\left ( \frac{1+x}{2} \right )^n+\left ( \frac{1+y}{2} \right )^n+\left ( \frac{1+z}{2} \right )^n\geq 3$

b) $\frac{1}{x^2(y+z)}+\frac{1}{y^2(z+x)}+\frac{1}{z^2(x+y)}\geq \frac{3}{2}$

Cho $\left\{\begin{matrix}x^2+xy+y^2=16 & & \\ y^2+yz+z^2=3 & & \end{matrix}\right.$.Chứng minh $xy+yz+xz\leq 8$

$\texttt{Solution}$

 

$\blacklozenge$ Chứng minh 

Ta có $n-1=\frac{2^{2p}-1}{3}-1=\frac{4(2^{p-1}+1)(2^{p-1}-1)}{3}$

Vì $p$ là số nguyên tố lẻ nên $p-1$ chẵn ta có: $2^{p-1}\equiv 1(\mod 3 )$

Theo định lý Fermat nhỏ có : $2^{p-1}\equiv 1(\mod p)$

Vậy : $2^{p-1}-1\vdots 3p$ $\Rightarrow \frac{2^{p-1}-1}{3}\vdots p$

Do đó $n-1\vdots 2p$

Từ đó suy ra : $2^{n-1}-1\vdots 2^{2p}-1$

Mà theo cách chọn  $n$ thì $2^{2p}-1\vdots n$ nên suy ra : $2^{n-1}-1\vdots n$

tức là $2^n-2\vdots n$        $\square$

Cho mình hỏi tại sao $n-1\vdots 2p$ thì $2^{n-1}-1\vdots 2^{2p}-1$ vậy

Giải phương trình $19+10x^4-14x^2=(5x^2-38)\sqrt{x^2-2}$