Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$ .Tìm GTNN của:

$P=\frac{a^{2}}{1+b}+\frac{b^{2}}{1+a}+\frac{4c^{2}}{2+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

Cho a,b,c là các số dương thoả mãn a + b + c = 1. Tìm GTNN của: 

$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}$ 

Ta có: $\sum \frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}=\sum \frac{a+b}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}\geq \frac{(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})^{2}}{\sqrt{(a+b)(a+c)}+\sqrt{(a+b)(b+c)}+\sqrt{(a+c)(b+c)}}\geq 3$

Dấu bằng xảy ra $a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài 36: Trong mặt phẳng Oxy, tam giác ABC có trực tâm H(5,5), phương trình chứa cạnh cạnh BC là x+y-8=0. Biết đường tròn ngoại tiếp tam giac đi qua 2 điểm M(7,3), N(4,2) tính diện tích ABC.

 

------------

Bạn hãy post bài nghiêm túc hơn nhé!

Mình ko biết vẽ hình đăng lên đâu mn thông cảm nhé 

Gọi giao của AH với đường tròn là K

Ta chứng minh K đối xúng với H qua BC

Ta có $\widehat{KBC}= \widehat{KAC}$ (cùng chắn cung KC)

          $\widehat{KAC}=\widehat{HBC}$ (cùng phụ với $\widehat{ACB}$ )

 Suy ra $\widehat{KBC}=\widehat{HBC}$ ,suy ra tam giác HBK cân tại B,suy ra K đối xúng với H qua BC,từ đó tìm đc K

đến đây dễ rồi

Câu 13: Tự nhiên lục lọi trong topic đề thi thử THPT quốc gia 2015 lại tìm thấy đúng bài cần tìm

Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM và đường cao AH lần lượt có phương trình 13x-6y-2=0,x-2y-14=0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là I(-6;0). (THPT chuyên Hùng Vương)

Ta tìm đc A(-4;-9)

Gội G là trọng tâm,K là trực tâm tam giác ABC

Dễ dàng cm đc K,G,I thẳng hàng và $\overrightarrow{IG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{IK}$ (theo đường thẳng ơle)

khi đó tìm đc điểm K,lại có $\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{IM}$ ,tìm đc M

khi đó ta viếtđc pt BC

Tọa độ B,C là ngiệm của hệ gồm pt BC và pt đường tròn

Một bài nữa :

Câu 18:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại C, D có BC = 2 AD = 2DC ,
đỉnh C(3;-3) , đỉnh A nằm trên đường thẳng d : 3x + y - 2 = 0 , phương trình đường thẳng
DM : x - y - 2 = 0 với M là điểm thỏa mãn  . Xác định tọa độ các điểm A, D, B ( THPT Hàn Thuyên)
 

Bài này chỉ cần tìm đc M là tìm đc tất các điểm cần tìm

Gọi N là trung điểm BC thì ANCD là hình vuông , M là trung điểm CN

Gọi E là trung điểm AN $\Rightarrow DM\perp CE$ 

$\Rightarrow \overrightarrow{n_{CE}}=\overrightarrow{u_{DM}}=(1;1)\Rightarrow CE:x+y=0$

$H=DM\cap CE\Rightarrow H(1;-1)$

Ta có: $\Delta CHM\sim \Delta DCM\Rightarrow \frac{HM}{CH}=\frac{CM}{DC}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2HM=CH$

$M\in MD\Rightarrow M(t;t-2)\Rightarrow 2\sqrt{(t-1)^{2}+(t-2+1)^{2}}=2\sqrt{2}\Leftrightarrow \left | t-1 \right |=1$

Gọi tọa độ tâm I của đường tròn (C) là (a;b)

Do $I\varepsilon (d)\Rightarrow 3a-2b+1=0$ (1)

Do A và B đều thuộc (C) nên ta có:   $IA^{2}=IB^{2}\Leftrightarrow (a-5)^{2}+(b+1)^{2}=(a+2)^{2}+(b+2)^{2}$

                                                                             $\Leftrightarrow a^{2}-10a+25+b^{2}+2b+1=a^{2}+4a+4+b^{2}+4b+4$

                                                                             $\Leftrightarrow 14a+2b-18=0\Leftrightarrow 7a+b-9=0$ (2)

    Từ (1),(2)$\Rightarrow (a;b)=(1;2)$

   Bán kính $R=IA=\sqrt{(1-5)^{2}+(2+1)^{2}}=5$

 Phương trình đường tròn (C): $(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=25$

143) $\left\{\begin{matrix}2x^2+3y^2-4xy=3 & & \\ 2x^2-y^2=7 & & \end{matrix}\right.$

Từ hệ suy ra $7(2x^{2}+3y^{2}-4xy)=3(2x^{2}-y^{2})$

                     $\Leftrightarrow 8x^{2}-28xy+24y^{2}=0$

                     $\Leftrightarrow (2x-3y)(x-2y)=0$

Đến đây thế vào PT dưới là xong

154) $\left\{\begin{matrix}x^3-9y^2+27y-27=0 & & \\ y^3-9z^2+27z-27=0 & & \\ z^3-9x^2+27x-27=0 \end{matrix}\right.$

Hệ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{3} =9y^{2}-27y+27=f(y)& & & \\ y^{3} =9z^{2}-27z+27=f(z)& & & \\ z^{3}=9x^{2} -27x+27=f(x)& & & \end{matrix}\right.$

Vì $f(t)=9t^{2}-27t+27=9(t-\frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{4}\geq \frac{27}{4}\forall t$

$\Rightarrow x^{3},y^{3},z^{3}\geq\frac{27}{4}\Rightarrow x,y,z\geq \frac{3}{\sqrt[3]{4}}$

${f}'(t)=18t-27> 0\forall t\in [\frac{3}{\sqrt[3]{4}};+\infty ]$

$\Rightarrow f$ là hàm đồng biến trên đoạn $[\frac{3}{\sqrt[3]{4}};+\infty ]$

Không mất tính tổng quá giả xử $x\geq y\geq z\Rightarrow f(x)\geq f(y)\geq f(z)\Rightarrow z^{3}\geq x^{3}\geq y^{3}\Rightarrow z\geq x\geq y$

$\Rightarrow x=y=z$

Ta có: $x^{3}-9x^{2}+27x-27=0$

Đến đây dễ rồi

$d\cap (P)=A(t+2;3t-1;2t+3)$

Do $A\in (P)\Rightarrow 2(t+2)+(3t-1)-3(2t+3)+5=0\Leftrightarrow t=-1$

$\Rightarrow A(1;-4;1)$

Mặt khác $B(2;-1;3)\in d$

Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua B và vuông góc với (P)

$\Rightarrow \overrightarrow{u_{\Delta }}=\overrightarrow{n_{P}}=(2;1;-3)$

$\Rightarrow \Delta :\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{-3}$

$\Delta \cap (P)=C(2c+2;c-1;-3c+3)$

Do $C\in (P)\Rightarrow 2(2c+2)+(c-1)-3(-3c+3)+5=0\Rightarrow c=\frac{1}{14}$

$\Rightarrow C(\frac{15}{7};-\frac{6}{7};\frac{39}{14})$

d' cần tìm chính là đường thẳng AC

Lắm PT BC quá bạn ơi   

nhìn lại mặt hàng đi bạn ạ,hehehe

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(1;2), B(3;1), C(5;4).

a, Viết phương trình đường thẳng BC và đường thẳng chứa đường cao hạ từ A của tam giác ABC

b, Tính diện tích tam giác ABC

c, Viết phương trình đường tron ngoại tiếp tam giác ABC

 

MOD: Chú ý tiêu đề bạn nhé

a, Ta có vecto chỉ phương của BC chính là $\vec{BC}=\left ( 5-3;4-1 \right )=\left ( 2;3 \right )$

$\Rightarrow$ vecto pháp tuyến của BC là $\left ( -3;2 \right )$

PT đương thẳng BC là$-3\left ( x-3 \right )+2\left ( y-1 \right )= 0$ hay$-3x+2y+7=0$

gọi AH là đường cao hạ từ A của $\Delta ABC$ $\Rightarrow AH\perp BC$

$\Rightarrow$ chỉ phương của BC là pháp tuyến của AH nên vecto pháp tuyến của AH là $\left ( 2;3 \right )$

PT đường thẳng AH là $2\left ( x-1 \right )+3\left ( y-2 \right )=0$ hay $2x+3y-8=0$

b,BC=$\sqrt{2^{2}+3^{2}}$=$\sqrt{13}$

   tọa độ H là nghiệm của hệ$\left\{\begin{matrix} -3x+2y+7=0 & & \\ 2x+3y-8=0 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{37}{13} & & \\ y=\frac{10}{13} & & \end{matrix}\right.$

AH= $\sqrt{\left ( \frac{37}{13}-1 \right )^{2}+\left ( \frac{10}{13}-2 \right )^{2}}=\frac{8}{\sqrt{13}}$

diện tích SABC =$\frac{1}{2}.AH.BC= \frac{1}{2}.\frac{8}{\sqrt{13}}.\sqrt{13}= 4$

c,gọi tâm I có tọa độ (x;y)

theo bài ra ta có: $IA^{2}= IB^{2}= IC^{2}$

             $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( x-1 \right )^{2}+\left ( y-2 \right )^{2}=\left ( x-3 \right )^{2}+\left ( y-1 \right )^{2} & & \\ \left ( x-1 \right )^{2}+\left ( y-2 \right )^{2}=\left ( x-5 \right )^{2}+\left ( y-4 \right )^{2} & & \end{matrix}\right.$     

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{23}{8} & & \\ y=\frac{13}{4} & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow R=IA=\sqrt{\left ( \frac{23}{8}-1 \right )^{2}+\left ( \frac{13}{4}-2 \right )^{2}}=\frac{5}{8}\sqrt{13}$

PT đường tròn ngoại tiếp: $\left ( x-\frac{23}{8}\right )^{2}+\left ( y-\frac{13}{4} \right )^{2}= \frac{325}{64}$

bạn xem hộ tớ sai chỗ nào ko nhé

Mình cũng xin góp một bài :
$\left ( cos2x+cos4x \right )^{2}= 5+cosx$

Em làm thế này ko biết đúng ko

Ta có $cos2x+cos4x\leq 2\Rightarrow (cos2x+cos4x)^{2}\leq 4$

          $5+cosx\geq 4$

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow (cos2x+cos4x)^{2}=5+cosx=4$ 

                                       $\left\{\begin{matrix} cosx=-1 & & & \\ cos2x=\pm 1 & & & \\ cos4x=\pm 1 & & & \end{matrix}\right.$

Bài 49. Giải phương trình: $$4\cos x-3\sin x+\dfrac{2}{4\cos x-3\sin x-6}=3$$

Phương trình tương đương với $4cosx-3sinx-6+\frac{2}{4cosx-3sinx-6}+3=0$

Đặt : $t=4cosx-3sinx-6 ;(t\neq 0)$

Phương trình trở thành $t+\frac{2}{t}+3=0\Leftrightarrow t^{2}+3t+2=0$

               $\Leftrightarrow t=-1$   hoặc $t=-2$

Nếu $t=-1\Rightarrow 4cosx-3sinx-6=-1 \Leftrightarrow 4cosx-3sinx-5=0$ (1)

Xét $cos\frac{x}{2}=0\Rightarrow sinx=0;cosx=-1$ không thỏa mãn

Xét $cosx\neq 0$ .Đăt $a=tan\frac{x}{2}$

(1) trở thành $\frac{4(1-a^{2})}{1+a^{2}}-\frac{6a}{1+a^{2}}-5=0$ quy đồng thu đc PT bậc 2

Nếu $t=-2\Rightarrow 4cosx-3sinx-6=-2\Leftrightarrow -3sinx=4(1-cosx)$

                                                                    $\Leftrightarrow -6sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}=8sin^{2}\frac{x}{2}$

                                                                    $2sin\frac{x}{2}(4sin\frac{x}{2}+3cos\frac{x}{2})=0$

Đến đây chắc dễ rồi,anh chị xem em làm có nhầm chỗ nào không ạ

Bài 3: 

$R=IA=\sqrt{(3+2)^{2}+(-7-0)^{2}}=\sqrt{74}$

PT đường đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

$(x+2)^{2}+y^{2}=74$

Gọi E là hình chiếu của I trên BC

Vẽ hình ra sẽ chứng minh đc $\overrightarrow{IE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AH}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{E} +2=\frac{1}{2}(3-3)& & \\ y_{E}=\frac{1}{2}(-1+7) & & \end{matrix}\right.\Rightarrow E(-2;3)$

$\overrightarrow{n_{BC}}=\overrightarrow{IE}=(0;3)\Rightarrow BC:y-3=0$

Tọa độ C  thỏa mãn hệ $\left\{\begin{matrix} y=3 & & \\ (x+2)^{2}+y^{2}=74& & \end{matrix}\right.$

Do C có hònh độ dương $\Rightarrow C(\sqrt{65}-2;3)$

Bầi 3:

1.Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$x^{2}=-\frac{2}{3}(m+1)x+\frac{1}{3}\Leftrightarrow 3x^{2}+2(m+1)x-1=0$

${\Delta }'=(m+1)^{2}+3> 0,\forall m\in \mathbb{R}$

suy ra đpcm

2.$f(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}[x_{1}^{2}+(m+1)x_{1}-1]-x_{2}[x_{2}^{2}+(m+1)x_{2}-1]$

Do $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của PT trên

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3x_{1}^{2}+2(m+1)x_{1}-1=0 & & \\ 3x_{2}^{2}+2(m+1)x_{2}-1=0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}^{2}+(m+1)x_{1}-1=-\frac{1}{2}(x_{1}^{2}+1) & & \\ x_{2}^{2}+(m+1)x_{2}-1=-\frac{1}{2}(x_{2}^{2}+1) & & \end{matrix}\right.$

Và $x_{1}x_{2}=\frac{-1}{3}$

Thay vào ta có 

$f(x_{1})-f(x_{2})=-\frac{1}{2}(x_{1}^{3}+x_{1}-x_{2}-x_{2}^{3})=-\frac{1}{2}[x_{1}^{3}-3x_{1}x_{2}(x_{1}-x_{2})-x_{2}^{3}]=-\frac{1}{2}(x_{1}-x_{2})^{3}$

không gian mẫu $\left | \Omega \right |=C_{30}^{10}$

Gọi A là biến cố rút ra đc 5 thẻ chẵn và 5 thẻ lẻ và có 1 thẻ mang số chia hết cho 10

Có 3 cách chọn số chia hết cho 10 

Có $C_{14}^{4}$ cách chọn 4 số chẵn còn lại

Có $C_{15}^{5}$ cách chọn 5 số lẻ

$\Rightarrow \left | A \right |=3.C_{14}^{4}.C_{15}^{5}$

Xác xuất cần tính là $P(A)=\frac{3.C_{14}^{4}.C_{15}^{5}}{C_{30}^{10}}$

Ta có: $\left | \Omega \right |=3^{6}$

a. $\frac{C_{6}^{1}}{3^{6}}$

b. $\frac{C_{6}^{3}.3!}{3^{6}}$

c. $\frac{C_{6}^{1}.C_{5}^{1}.C_{3}^{2}}{3^{6}}$

d. $\frac{C_{3}^{1}.2^{5}}{3^{6}}$

Bài 30: Tìm số phức z thỏa $\left ( \frac{z+i}{z-i} \right )^{4}=1$

Ta có: $(\frac{z+i}{z-i})^{4}=1\Leftrightarrow (\frac{z+i}{z-i})^{2}=\pm 1$

Giải $(\frac{z+i}{z-i})^{2}=1\Leftrightarrow \frac{z+i}{z-i}=\pm 1\Leftrightarrow z=0$

Giải $(\frac{z+i}{z-i})^{2}=-1\Leftrightarrow (\frac{z+i}{z-i})^{2}=i^{2}\Leftrightarrow (\frac{z+i}{z-i}-i)(\frac{z+i}{z-i}+1)=0\Leftrightarrow z=\pm 1$

Câu 4:

Ta có: $1=(ab+bc+ca)^{2}=a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+2abc(a+b+c)$

$\Rightarrow dpcm\Leftrightarrow a^{4}b^{2}+b^{4}c^{2}+c^{4}a^{2}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}\geq \frac{4}{9}$

$\Leftrightarrow a^{2}b^{2}(a^{2}+1)+b^{2}c^{2}(b^{2}+1)+c^{2}a^{2}(c^{2}+1)\geq \frac{4}{9}$

$\Leftrightarrow a^{2}b^{2}(a+b)(a+c)+b^{2}c^{2}(b+c)(b+a)+c^{2}a^{2}(c+a)(c+b)\geq \frac{4}{9}$

$(a+b)(b+c)(c+a)(\frac{a^{2}b^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}c^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}a^{2}}{a+b})\geq \frac{4}{9}$

Nhờ biến đổi tương đương ta chứng minh đc $(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)=\frac{8}{9}(a+b+c)$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$\frac{a^{2}b^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}c^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}a^{2}}{a+b}\geq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{1}{2(a+b+c)}$

vậy ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Thiếu $x=y$ (mà làm rồi mà)

 

Nếu x=y thì có thỏa $(x-y)(xy+6)=12$ đâu

Câu hệ:

Hệ$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-y)(2x+3y)=12 & & \\ (x-y)(xy+6)=12 & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 2x+3y=xy+6\Leftrightarrow (x-3)(y-2)=0$

2. Ta có: $\Delta \cap d=B(3t+3;2t+3;-2t-2)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(3t-1;2t+2;-2t-5)$

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n_{P}}=0\Leftrightarrow 3(3t-1)+2(2t+2)+3(-2t-5)=0\Leftrightarrow t=2$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(5;6;-9)$

$\Rightarrow \Delta :\frac{x-4}{5}=\frac{y-1}{6}=\frac{z-3}{-9}$

1.Do a,b,c thẳng hàng và AB=BC suy ra B là trung điểm của AB

$A(a;-a+4;2a-1)$

$B(b;-3b+2;-3b)$

$C(5c-1;2c+1;c-1)$

Đến đây ta có hệ 3 ẩn 3 phương trình

2)$8cos^{3}(x+\frac{\pi }{3})=cos3x$

2. Đặt $x+\frac{\pi }{3}=t$ 

PT trở thành: $8cos^{3}t=cos(3t-\pi )=-cos3t$

                      $\Leftrightarrow 8cos^{3}t+4cos^{3}t-3cost=0$

                      $\Leftrightarrow 12cos^{3}t-3cost=0$

                      $\Leftrightarrow cost(2cost-1)(2cost+1)=0$

Câu a là 10! mà.

à ừ đúng là 10!,tớ nhầm mất