Cho $x,y \in \mathbb{N}^*$ thỏa mãn $x+y=2022$.
Chứng minh $xy \not \vdots 2022$

$ab=cd\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{d}{b}=k\left(k>0\right)$

$\Rightarrow a=ck,d=bk$

$a+b+c+d=ck+b+c+bk=c\left(k+1\right)+b\left(k+1\right)=\left(c+b\right)\left(k+1\right)$ $(1)$

Do $a,b,c,d,k>0$ nên từ $(1)$ suy ra $a+b+c+d$ là hợp số

Nhầm rồi kìa bạn ơi, đoạn này phải là $ab=cd\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{d}{b}$ chứ 

Cảm ơn b đã nhắc mình đã sửa lại rồi 

Giải phương trình: $10x^{2}+6x=\sqrt{\frac{4x+3}{5}} (1)$

ĐKXĐ: $x\ge -\frac{3}{4}$

$\left(1\right)\Rightarrow \left(10x^2+6x\right)^2=\frac{4x+3}{5}$

$\Leftrightarrow 500x^4+600x^3+180x^2-4x-3=0$

$\Leftrightarrow \left(50x^2+20x-3\right)\left(10x^2+8x+1\right)=0$

...
B giải nốt nghiệm r thử lại nhé

B1: Cho $x,y,z>0, x+y+z=3$. Tìm Max $P=\frac{1}{\sqrt{x^2-xy+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{y^2-yz+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{z^2-zx+x^2}}$

B2: Cho $x,y,z>0, x+y+z=3$. Tìm Min $P=\sum \sqrt{6x^2+8xy+11y^2}$

 Ta có: $6x^{2}+8xy+11y^2=(\sqrt{6}x+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}y)^{2}+\frac{25}{3}y^{2}$

 

Anh cho em hỏi làm sao để tách được như thế này ạ 

Từ gt, dễ dàng biến đổi ra được: $a+b\leqslant 2$

Ta có: $P=(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab})+(\frac{2}{2ab}+ab)+\frac{3}{2ab}\geqslant \frac{4}{(a+b)^2}+2\sqrt{\frac{1}{ab}.ab}+\frac{6}{(a+b)^2}=\frac{9}{2}$

Vậy $P_{Min}=\frac{9}{2}$

Biến đổi gt kiểu gì v bạn 

cho a;b >0 và $a^{3}+b^{3}+6ab\leq 8$

Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{3}{ab}+ab$

Nãy lười gõ $\LaTeX$
$(gt) \Leftrightarrow (a+b)^3+6ab-3ab(a+b)-8\leqslant 0$

$\Leftrightarrow (a+b-2)(a^2+b^2+ab+2a+2b+4)\leqslant 0$

$\Leftrightarrow a+b\leqslant 2$ (vì $a,b>0$)

Thanks bạn 

Thiếu lập luận rồi bạn ơi, sao đùng cái $(n+1)(n^2-n+2)$ là hợp số liền được

 

 

$n\in ℕ^∗\Rightarrow \hept{\begin{matrix}n^3+n+2>n+1>1\\n^3+n+2>n^2-n+2=n\left(n-1\right)+2\ge 2>1\end{matrix}}$

Do đó $n^{3}+n+2=(n+1)(n^{2}-n+2)$ là hợp số

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $13a + 5b + 12c = 9$. Chứng minh rằng

$\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}{2b+c}+\frac{6ca}{2c+a}\leqslant1$

(Ac giúp e bằng UCT vs ạ)

Cho a,b là hai số nguyên thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+ab+3(a+b)+2023$ chia hết cho 5. CMR: a-b chia hết cho 5.

$a^2+b^2+ab+3(a+b)+2023⋮5$

$\Rightarrow 4\left(a^2+b^2+ab+3(a+b)+2023\right)⋮5$
$\Rightarrow \left(2a+b+3\right)^2+3\left(b+1\right)^2+4.2023-12⋮5$

$\Rightarrow \left(2a+b+3\right)^2+3\left(b+1\right)^2⋮5$

Đặt $x=\left(b+1\right)$, $y=\left(2a+b+3\right)$ $\Rightarrow y^2+3x^2\equiv 0\left(mod5\right)$

Do $y^2$, $x^2$ là scp 

$\Rightarrow y^2\equiv 0,1,4\left(mod5\right)$ 

$x^2\equiv 0,1,4\left(mod5\right)$, $\Rightarrow 3x^2\equiv 0,2,3\left(mod5\right)$

Xét các TH

TH1: $y^2\equiv 0\left(mod5\right)$ mà  $y^2+3x^2\equiv 0\left(mod5\right)$

$\Rightarrow 3x^2\equiv 0\left(mod5\right)$

${\begin{matrix}2a+b+3\equiv 0\left(mod5\right)\\b+1\equiv 0\left(mod5\right)\end{matrix}\Rightarrow \left(2a+b+3\right)-3\left(b+1\right)=a-b\equiv 0\left(mod5\right)}$

$\Rightarrow a-b⋮5$
Các th còn lại b tự cm nhé 

Giải pt 

a, $\left(x+1\right)\left(2\sqrt{x^2+3}-x^2\right)+\sqrt[3]{3x^2+5}=5x+3$

b, $\frac{3}{\sqrt{x^2+4}}+6=2\sqrt{\frac{x^3+3x-3}{3x+2}}+x^2$

c, $\left(x+7\right)\left(x^2-9x+1-\sqrt[3]{20x^2+102x-121}\right)+63x+1=0$

d, $\left(2-\frac{4}{x}\right)\left(\sqrt{x-1}-1\right)=\frac{9x^2-14x+25}{3x+3+4\sqrt{2x-1}}$

Bài này thì mình có cách này ko biết có thoả mãn yêu cầu của bạn ko:))
Ta có $\frac{ab}{2a+b}=\frac{1}{\frac{2}{b}+\frac{1}{a}}=\frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}\leqslant\frac{2b+a}{9}$. Tương tự, ta sẽ có $\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}{2b+c}+\frac{6ca}{2c+a}\leqslant\frac{13a+5b+12c}{9}=1$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{3}{10}$

cách này thì mik đã lm rồi dù s cũng cảm ơn bạn mik đang tìm theo hướng UCT xem có đc không 

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$

Tìm Min $P=\sum \frac{\left(a+b\right)\sqrt{1+c^2}}{c}$

Ta có: $P=\frac{(a+b)\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}{c}+\frac{(b+c)\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{a}+\frac{(c+a)\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}{b}=\frac{(a+b)\sqrt{(c+a)(c+b)}}{c}+\frac{(b+c)\sqrt{(a+b)(a+c)}}{a}+\frac{(c+a)\sqrt{(b+a)(b+c)}}{b}\geqslant \frac{(a+b)(c+\sqrt{ab})}{c}+\frac{(b+c)(a+\sqrt{bc})}{a}+\frac{(c+a)(b+\sqrt{ca})}{b}=2(a+b+c)+\frac{\sqrt{ab}(a+b)}{c}+\frac{\sqrt{bc}(b+c)}{a}+\frac{\sqrt{ca}(c+a)}{b}\geqslant 2(a+b+c)+\frac{2ab}{c}+\frac{2bc}{a}+\frac{2ca}{b}\geqslant 4(a+b+c)\geqslant 4.\sqrt{3(ab+bc+ca)}=4\sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

a cho em hỏi tí dòng 3 là dùng bđt nào ạ

Giải các hệ pt sau

1,$\left\{{\begin{matrix}\frac{xy}{x+y}=1-z\\\frac{yz}{y+z}=2-x\\\frac{zx}{z+x}=2-y\end{matrix}}\right.$

2,$\left\{{\begin{matrix}\frac{1}{x}+\frac{1}{y+z}=\frac{1}{2}\\\frac{1}{y}+\frac{1}{x+z}=\frac{1}{3}\\\frac{1}{z}+\frac{1}{x+y}=\frac{1}{4}\end{matrix}}\right.$

3,$\left\{{\begin{matrix}x^2-xy-xz+z^2=0\\x^2-xz-yz+3y^2=2\\y^2+xy+yz-z^2=2\end{matrix}}\right.$

$x^4-4x^3-19x^2+106x-120=0$

$\Leftrightarrow \left(x^2-5x+6\right)\left(x^2+x-20\right)=0$

$\Leftrightarrow \left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x^2+x-20\right)=0$

$\Leftrightarrow \left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\left(x+5\right)=0$

Tập nghiệm của pt là S={2;3;4;-5}

Cách làm

Xét đa thức $f\left(x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ với $a\ne 0$

Khi đó 

$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)$

$\Leftrightarrow ax^{4\: }+bx^3+cx^2+dx+e=a\left(x^2-Sx+P\right)\left(x^2-S'x+P'\right)$

Trong đó

$\hept{\begin{cases}\orbr{\begin{cases}S=x_1+x_2=x_1+x_3=x_1+x_4=x_2+x_3=x_2+x_4=x_3+x_4\\S'=x_3+x_4=x_2+x_4=x_2+x_3=x_1+x_4=x_1+x_3=x_1+x_2\end{cases}}\\\orbr{\begin{cases}P=x_1x_2=x_1x_3=x_1x_4=x_2x_3=x_2x_4=x_3x_4\\P'=x_3x_4=x_2x_4=x_2x_3=x_1x_4=x_1x_3=x_1x_2\end{cases}}\end{cases}}$

Khi tìm đc S;S';P;P' thì bài toán sẽ đc giải quyết 

Quy trình ép tích 

Bước 1

Bấm máy tính tìm các nghiệm $x_1;x_2;x_3;x_4$

Gán $x_1\rightarrow A;x_2\rightarrow B;x_3\rightarrow C;x_4\rightarrow D$

Dùng máy tính dò tìm S;S';P;P' hợp lí nhất có thể

Dự đoán $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=a\left(x^2-Sx+P\right)\left(x^2-S'x+P'\right)$

Bước 2: Ép tích theo kết quả biết trước

$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=a\left(x^2-Sx+P\right)\left(x^2-S'x+P'\right)$

P/s cách này hơi khó hiểu nhưng nếu hiểu đc nó sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán khó

Giải pt

$a,\sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}-2\sqrt[3]{x-1}-\left(x-5\right)\sqrt{x-8}-3x+31=0$

$b,\sqrt[3]{162x^3+2}-\sqrt{27x^2-9x+1}=1$

$c,\sqrt[3]{x^2}+\sqrt{x^2+8}-2=\sqrt{x^2+15}$

Bài 1. Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp là 0, Chứng minh với mọi điểm M thuộc (O) thì trung điểm của HM thuộc đường tròn Euler.

Bài 2. Cho tam giác ABC, P là một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của P trên các đường thẳng BC,AC,AB. Chứng minh rằng D,E,F cùng thuộc một đường thẳng. (Đường thẳng Simson ứng với P của tam giác ABC).

Giải pt bằng phương pháp đặt ẩn phụ

a,$8x^2-8x+\sqrt{1-3x}=\sqrt{1+x}$

b,$\left(\frac{x-3}{x-1}\right)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}=\left(2x+3\right)\sqrt{2x+1}$

c,$x+5\sqrt{1-\sqrt{1-x}}=6\sqrt{1-x}$

d,$\left(x+5\right)\sqrt{x+1}+1=\sqrt[3]{3x+4}$

$A=2^{30}+2^{2010}+4^n=4^{15}+4^{1005}+4^n=\left(2^{15}\right)^2\left(1+4^{990}+4^{n-15}\right)$

Để A là scp thì $1+4^{990}+4^{n-15}$ là scp 

Ta có $1+4^{990}+4^{n-15}>4^{n-15}=\left(2^{n-15}\right)^2$ mà $1+4^{990}+4^{n-15}$ là scp
$\Rightarrow 1+4^{990}+4^{n-15}\ge \left(2^{n-15}+1\right)^2=4^{n-15}+2.2^{n-15}+1$

$\Rightarrow 4^{990}\ge 2.2^{n-15}$

$\Rightarrow 2^{1979}\ge 2^{n-15}$

$\Rightarrow n-15\le 1979$
$\Rightarrow n\le 1994$

Với $n=1994$ ta có $A=2^{30}+2^{2010}+4^{1994}=\left(2^{15}\right)^2+2.2^{15}.2^{1994}+\left(2^{1994}\right)^2=\left(2^{15}+2^{1994}\right)^2$ là số chính phương 
Vậy n=1994

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $\frac{b^3+2abc+c^3}{a^2+bc} + \frac{c^3+2abc+a^3}{b^2+ca}+\frac{a^3+2abc+b^3}{c^2+ab} \ge 2\left(a+b+c\right)$

Bài 1 Cho đường tròn (O; R). A và B là hai điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O). M là điểm di động trên đường tròn (O). Xác định vị trí của điểm M để diện tích tam giác MAB có giá trị:

a) Lớn nhất

b) Nhỏ nhất

Cho $n,p$ là các số nguyên sao cho $n>1$ và $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng nếu $(p-1)$ chia hết cho $n$ và $(n^{3}-1)$ chia hết cho $p$ thì $4p-3$ là 1 số chính phương