6x+1=8x^3

      Đặt 2x=a

=>   3a+1=a^3

 Đặt a=u+v

PT <=> (u+v)^3 -3(u+v)-1=o

      <=> u^3+v^3 + (3uv-1)(u+v)=0 (1)

 Lấy 3uv-1=o <=> u=1/(3v) rồi thay vào (1)

$\sqrt{4a^2+4a+5}+\sqrt{4a^2-8a+8}=\sqrt{(2a+1)^2+2^2}+\sqrt{(2a-2)^2+2^2}

Gọi A(2a;0), B(-1;2),C(2;-2)

BA= \sqrt{(2a+1)^2+(2-0)^2}

CA=\sqrt{(2a-2)^2+(0+2)^2}

Theo BĐT trong tam giác, ta có BA+CA\geq BC=\sqrt{3^2+4^2}=5(đpcm)

Cho a+b+c=3, a, b, c là các số không âm

CM $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c{2}}$+$\frac{2009}{ab+bc+ac}\geq 670$

 

Ta có:$ab+ bc+ ac\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ac)\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^{2}}{3}\geq ab+bc+ac$

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2009}{ab+bc+ac}=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{2007}{ab+bc+ac}\geq \frac{9}{(a+b+c)^{2}}+\frac{2007}{\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=670$

Cho a,b là các số thực không dương và 

$a^{2}+b^{3}\geq a^{3}+b^{4}$ 

CM $a^{3}+b^{3}\leq 2$

giải phương trình:  $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=4x-9+2\sqrt{3x^{2}-5x+2}$

Bài 1.(2,0 điểm)

Cho biểu thức:

M= $( \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}):\frac{\sqrt{x}-1}{7} với x\geq 0;x\neq 1.$

a) Rút gọn biểu thức M

b) Tính giá trị của biểu thức M khi $x= 3+2\sqrt{2}$

Bài 2.(3,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} (x^{2}+xy+y^2)\sqrt{x^2+y^2}=185\\(x^2-xy+y^2)\sqrt{x^2+y^2}=65 \end{matrix}\right.$

b)Cho phương trình: $mx^3-(m^2+1)X^2-xm^2+m+1=0 (1).$

+) Chứng tỏ x= -1 là nghiệm của phương trình (1).

+) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) luôn có ba nghiệm phân biệt.

Bài 3.(3,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O).Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC) và BE vuông góc với đường kính AD (E thuộc AD).

a) CM HE // DC.

b) Qua trung điểm K của đoạn thẳng AB kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại M. Chứng minh tam giác MHE cân.

Bài 4.(1,0 điểm) 

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn : $-1\leq a\leq 2;-1\leq b\leq 2;-1\leq c\leq 2 và a+b+c=0.$

$CM a^2+b^2+c^2\leq 6.$

Bài 5.(1,0 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD có AB= 5cm; BC= 2cm. Trên cạnh AB lấy điểm I bất kì $(I\neq A,B)$. Kẻ IM vuông góc với AC (M thuộc AC) và IN vuông góc với DC (N thuộc DC). Tìm vị trí điểm I để đường thẳng AN là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN.

Nếu mình không nhầm thì bài này sử dụng phương pháp tăng giảm khối lượng đáp án hình như là 2,25g

Cho em hỏi tại sao trang chủ của diễn đàn mình mãi không mở cửa vậy

Ta có

$Q= \frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}$

$\Leftrightarrow Qa^2+Qab+Qb^2=a^2-ab+b^2$

$\Leftrightarrow (Q-1)a^2+(Qb+b)a+Qb^2-b^2$

$\Rightarrow \Delta =(Qb+b)^2-4(Q-1)(Qb^2-b^2)\geq 0$

$\Leftrightarrow b^2(-3Q^2+10Q-3)\geq 0$

$\Leftrightarrow 3\geq Q\geq \frac{1}{3}$

Đến đây bạn tự tìm dấu bằng nha

Mình có vài định lí hình học nâng cao up lên cho mọi người cùng đọc 

1. Cho a,b,c > 0 a+b+c = 1. CMR: $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} \geq 30$

2. Cho tam giác ABC. CMR: $\frac{1}{2+cos2A} + \frac{1}{2+cos2B} + \frac{1}{2-cos2C} \geq \frac{6}{5}$

Bài 1 Ta có$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac \Rightarrow (a+b+c)^2\geq 3ab+3bc+3ac\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^2}{3}\geq ab+bc+ac$

$\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{3ab}+\frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ac})+(\frac{2}{3ab}+\frac{2}{3bc}+\frac{2}{3ac})\geq \frac{4}{\sqrt[4]{(a^2+b^2+c^2)3ab3ac3bc}}+\frac{6}{\sqrt[3]{3ab3bc3ac}}\geq \frac{16}{a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ac}+\frac{6}{ab+bc+ac}=\frac{16}{(a+b+c)^2+ab+bc+ac}+\frac{6}{ab+bc+ac}\geq 12+18=30$

Giải BPT $\sqrt{3x^2-7x+3}+\sqrt{x^2-3x+4}> \sqrt{x^2-2}+\sqrt{3x^2-5x-1}$

Giải hệ phương trình sau với ẩn số là x,y

Tìm phương trình đường thẳng đi qua P(1;3) cắt Ox và Oy tại hai điểm A và B (A và B khác gốc O) sao cho OA+OB đạt GTNN

A và B phải khác điểm O mình quên mất 

Tìm phương trình đường thẳng đi qua P(1;3) cắt Ox và Oy tại hai điểm A và B (A và B khác gốc O) sao cho OA+OB đạt GTNN

Gọi phương trình đường thẳng là $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

Do đường thẳng đi qua P => 1pt

Rút a theo b thay vào S=$\left | a \right |+\left | b \right |$

dùng bđt $\left | x \right |+\left | y \right |\geq \left | x+y \right |$

( hình như còn phải xử lý phân số nữa)

Đến đấy rồi làm kiểu gì nữa, bạn viết cả kết quả cho mình xem

Đặt $a^2=x, b^2=y$ BĐT có dạng:

$\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{x}\geq x^2+y^2$

Áp dụng BĐT Cauchy schwars, ta có

$\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{x}= \frac{x^4}{xy}+\frac{y^4}{xy}\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2xy}\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{x^2+y^2}= x^2+y^2$

Dấu bằng xảy ra khi x=y

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

$\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}+\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\geq 2\sqrt{b}+2\sqrt{a}\Leftrightarrow \frac{b}{\sqrt{a}}+\frac{a}{\sqrt{b}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}$

Dấu bằng xảy ra khi x=y

$\frac{a^3}{b^2}+a+\frac{b^3}{c^2}+b+\frac{c^3}{d^2}+c+\frac{d^3}{a^2}+d\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{d}+\frac{d^2}{a}\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{a+b+c+d}= a+b+c+d\Leftrightarrow \frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{d^2}+\frac{d^3}{a}\geq a+b+c+d$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d

Cho hình thang vuông ABCD tại A và D. CD=2AB, gọi H là hình chiếu của D lên AC, N là trung điểm của HC.CMR:

BN vuông góc với DN

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD tại A và D. CD=2AB, gọi H là hình chiếu của D lên AC, N là trung điểm của HC. Biết B(1;2), H(-1;0) và phương trình DN: x-2y-2=0. Tìm tọa độ các đỉnh A,C,D

Hình như câu a bạn đánh sai thì phải, phải là tứ giác BEDC mới đúng

Bài 5

Gọi N(a;10-4a)

Gọi điểm đối xứng với N qua E là F, F thuộc AB và E là trung điểm của FN

vậy F(6-a;4a-18)

Vì FE vuông góc với FM nên tích vô hướng của chúng bằng 0. Từ đây tìm ra a rồi tìm ra phương trình AB

Bài 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt có phương trình là x-3y=0 và x+5y=o. Đỉnh C nằm trên đường thẳng x+y-2=0 và có hoành độ dương. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ C đi qua điểm E(-2;6)