Tìm số tự nhiên n, biết :

$\frac{16}{2^{n}}=2$

$\frac{16}{2^n}=2\Leftrightarrow 16=2.2^n\Leftrightarrow 2^n=8\Leftrightarrow n=3$

Bài 1 Cho đường tròn (O; R). A và B là hai điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O). M là điểm di động trên đường tròn (O). Xác định vị trí của điểm M để diện tích tam giác MAB có giá trị:

a) Lớn nhất

b) Nhỏ nhất

cho a;b >0 và $a^{3}+b^{3}+6ab\leq 8$

Tìm GTNN của biểu thức $P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{3}{ab}+ab$

Từ gt, dễ dàng biến đổi ra được: $a+b\leqslant 2$

Ta có: $P=(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab})+(\frac{2}{2ab}+ab)+\frac{3}{2ab}\geqslant \frac{4}{(a+b)^2}+2\sqrt{\frac{1}{ab}.ab}+\frac{6}{(a+b)^2}=\frac{9}{2}$

Vậy $P_{Min}=\frac{9}{2}$

Biến đổi gt kiểu gì v bạn 

Nãy lười gõ $\LaTeX$
$(gt) \Leftrightarrow (a+b)^3+6ab-3ab(a+b)-8\leqslant 0$

$\Leftrightarrow (a+b-2)(a^2+b^2+ab+2a+2b+4)\leqslant 0$

$\Leftrightarrow a+b\leqslant 2$ (vì $a,b>0$)

Thanks bạn 

Cho $a,b>0$ thỏa mãn $\sqrt{ab}(a-b)=a+b$ 

Tìm $Min P=a+b$

Bài 1. Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp là 0, Chứng minh với mọi điểm M thuộc (O) thì trung điểm của HM thuộc đường tròn Euler.

Bài 2. Cho tam giác ABC, P là một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của P trên các đường thẳng BC,AC,AB. Chứng minh rằng D,E,F cùng thuộc một đường thẳng. (Đường thẳng Simson ứng với P của tam giác ABC).

Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z\ge 6$. Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức
$P=\frac{x^2}{yz+\sqrt{1+x^3}}+\frac{y^2}{zx+\sqrt{1+y^3}}+\frac{z^2}{xy+\sqrt{1+z^3}}$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$

Tìm Min $P=\sum \frac{\left(a+b\right)\sqrt{1+c^2}}{c}$

Ta có: $P=\frac{(a+b)\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}{c}+\frac{(b+c)\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{a}+\frac{(c+a)\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}{b}=\frac{(a+b)\sqrt{(c+a)(c+b)}}{c}+\frac{(b+c)\sqrt{(a+b)(a+c)}}{a}+\frac{(c+a)\sqrt{(b+a)(b+c)}}{b}\geqslant \frac{(a+b)(c+\sqrt{ab})}{c}+\frac{(b+c)(a+\sqrt{bc})}{a}+\frac{(c+a)(b+\sqrt{ca})}{b}=2(a+b+c)+\frac{\sqrt{ab}(a+b)}{c}+\frac{\sqrt{bc}(b+c)}{a}+\frac{\sqrt{ca}(c+a)}{b}\geqslant 2(a+b+c)+\frac{2ab}{c}+\frac{2bc}{a}+\frac{2ca}{b}\geqslant 4(a+b+c)\geqslant 4.\sqrt{3(ab+bc+ca)}=4\sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

a cho em hỏi tí dòng 3 là dùng bđt nào ạ

cho $a,b,c$ thỏa mãn: $ab+bc+ca+abc=2$ 

Tìm Max $\sum \frac{a+1}{a^{2}+2a+2}$

Cho đường tròn (O; R), BC là dây cung cố định. A là điểm chuyển động trên cung lớn BC. AD là phân giác của tam giác ABC. Xác định vị trí của điểm A để hiệu AB.AC-BD.DC đạt giá trị lớn nhất.

 Ta có: $6x^{2}+8xy+11y^2=(\sqrt{6}x+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}y)^{2}+\frac{25}{3}y^{2}$

 

Anh cho em hỏi làm sao để tách được như thế này ạ 

B1: Cho $x,y,z>0, x+y+z=3$. Tìm Max $P=\frac{1}{\sqrt{x^2-xy+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{y^2-yz+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{z^2-zx+x^2}}$

B2: Cho $x,y,z>0, x+y+z=3$. Tìm Min $P=\sum \sqrt{6x^2+8xy+11y^2}$

$x^4-4x^3-19x^2+106x-120=0$

$\Leftrightarrow \left(x^2-5x+6\right)\left(x^2+x-20\right)=0$

$\Leftrightarrow \left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x^2+x-20\right)=0$

$\Leftrightarrow \left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\left(x+5\right)=0$

Tập nghiệm của pt là S={2;3;4;-5}

Cách làm

Xét đa thức $f\left(x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ với $a\ne 0$

Khi đó 

$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)$

$\Leftrightarrow ax^{4\: }+bx^3+cx^2+dx+e=a\left(x^2-Sx+P\right)\left(x^2-S'x+P'\right)$

Trong đó

$\hept{\begin{cases}\orbr{\begin{cases}S=x_1+x_2=x_1+x_3=x_1+x_4=x_2+x_3=x_2+x_4=x_3+x_4\\S'=x_3+x_4=x_2+x_4=x_2+x_3=x_1+x_4=x_1+x_3=x_1+x_2\end{cases}}\\\orbr{\begin{cases}P=x_1x_2=x_1x_3=x_1x_4=x_2x_3=x_2x_4=x_3x_4\\P'=x_3x_4=x_2x_4=x_2x_3=x_1x_4=x_1x_3=x_1x_2\end{cases}}\end{cases}}$

Khi tìm đc S;S';P;P' thì bài toán sẽ đc giải quyết 

Quy trình ép tích 

Bước 1

Bấm máy tính tìm các nghiệm $x_1;x_2;x_3;x_4$

Gán $x_1\rightarrow A;x_2\rightarrow B;x_3\rightarrow C;x_4\rightarrow D$

Dùng máy tính dò tìm S;S';P;P' hợp lí nhất có thể

Dự đoán $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=a\left(x^2-Sx+P\right)\left(x^2-S'x+P'\right)$

Bước 2: Ép tích theo kết quả biết trước

$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=a\left(x^2-Sx+P\right)\left(x^2-S'x+P'\right)$

P/s cách này hơi khó hiểu nhưng nếu hiểu đc nó sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán khó

$(2x+5y+1)(2^{|x|} + x^2 + x+y)= 105(1)$

VP(1) lẻ suy ra $(2x+5y+1)$ lẻ (2)

                             $(2^{|x|} + x^2 + x+y)$ lẻ (3)
Từ (2) suy ra 5y chẵn => y chẵn (4)

Từ (3),(4) => $2^{|x|}$ lẻ => x=0

Thay x=0 tìm được y=4(tm)

Cho $a,b,c$ là các số nguyên tố cùng nhau và $(a-c)(b-c)=c^{2}$. Chứng minh rằng $2017^{2}abc$ là số chính phương 

Cho $n,p$ là các số nguyên sao cho $n>1$ và $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng nếu $(p-1)$ chia hết cho $n$ và $(n^{3}-1)$ chia hết cho $p$ thì $4p-3$ là 1 số chính phương 

Cho tam giác abc nhon (a=60 độ) nội tiếp (o,r). đường cao bd, ce cắt nhau tại h.

chứng minh

a, Chứng minh b,o,h,c cùng nằm trên 1 đường tròn

b, Chứng minh aoh cân

Thiếu lập luận rồi bạn ơi, sao đùng cái $(n+1)(n^2-n+2)$ là hợp số liền được

 

 

$n\in ℕ^∗\Rightarrow \hept{\begin{matrix}n^3+n+2>n+1>1\\n^3+n+2>n^2-n+2=n\left(n-1\right)+2\ge 2>1\end{matrix}}$

Do đó $n^{3}+n+2=(n+1)(n^{2}-n+2)$ là hợp số

Nhầm rồi kìa bạn ơi, đoạn này phải là $ab=cd\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{d}{b}$ chứ 

Cảm ơn b đã nhắc mình đã sửa lại rồi 

$ab=cd\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{d}{b}=k\left(k>0\right)$

$\Rightarrow a=ck,d=bk$

$a+b+c+d=ck+b+c+bk=c\left(k+1\right)+b\left(k+1\right)=\left(c+b\right)\left(k+1\right)$ $(1)$

Do $a,b,c,d,k>0$ nên từ $(1)$ suy ra $a+b+c+d$ là hợp số

Cho a,b là hai số nguyên thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+ab+3(a+b)+2023$ chia hết cho 5. CMR: a-b chia hết cho 5.

$a^2+b^2+ab+3(a+b)+2023⋮5$

$\Rightarrow 4\left(a^2+b^2+ab+3(a+b)+2023\right)⋮5$
$\Rightarrow \left(2a+b+3\right)^2+3\left(b+1\right)^2+4.2023-12⋮5$

$\Rightarrow \left(2a+b+3\right)^2+3\left(b+1\right)^2⋮5$

Đặt $x=\left(b+1\right)$, $y=\left(2a+b+3\right)$ $\Rightarrow y^2+3x^2\equiv 0\left(mod5\right)$

Do $y^2$, $x^2$ là scp 

$\Rightarrow y^2\equiv 0,1,4\left(mod5\right)$ 

$x^2\equiv 0,1,4\left(mod5\right)$, $\Rightarrow 3x^2\equiv 0,2,3\left(mod5\right)$

Xét các TH

TH1: $y^2\equiv 0\left(mod5\right)$ mà  $y^2+3x^2\equiv 0\left(mod5\right)$

$\Rightarrow 3x^2\equiv 0\left(mod5\right)$

${\begin{matrix}2a+b+3\equiv 0\left(mod5\right)\\b+1\equiv 0\left(mod5\right)\end{matrix}\Rightarrow \left(2a+b+3\right)-3\left(b+1\right)=a-b\equiv 0\left(mod5\right)}$

$\Rightarrow a-b⋮5$
Các th còn lại b tự cm nhé 

Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ (I) nội tiếp và đường tròn (K) bàng tiếp trong góc A. Đường tròn (K) tiếp xúc AB,AC và BC thứ tự tại D,E,F. Gọi r và R là bán kính (I) và (K). Chứng minh rằng:

a, A,I,K thẳng hàng 

b,Sabc=R.r

Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
a,$x-1+\sqrt{x}=\sqrt{7x^2-17x+7}$

b,$\frac{3-x+\sqrt{x}}{1+\sqrt{2(x^2-3x+4)}}=1$