a, nghĩa là trong x,y,z bất kì , y là lớn nhất

Các anh chị ơi  ! Em đang cần một bộ sách ôn IMO( chỉ là chuẩn bị ) . Các anh chị có thể cho em link được không ạ ?  ​ 

Hiện nay em đang học hình học vecto nhưng lại thắc mắc định lí con nhím . Vectơ đơn vị theo em biết thì là vectơ =1 nhưng khi làm bài tập  thì sách đặt vecto đơn vị là một đống khác \

VD :Cho tan giác ABC và điểm O nằm trong tam giác . Gọi $A_{1}, B_{1},C_{1}$ theo thứ tự là hìn chiếu của O lên BC ,CA ,AB . Trên các tịa $OA_{1},OB_{1},OC_{1}$ theo thứ tự lấy các điểm $A_{2},B_{2},C_{2}$ sao cho $OA_{2}=BC,OB_{2}=CA,OC_{2}=AB$. Chứng mình rằng O  là trọng tâm của tam giác $A_{2}B_{2}C_{2}$

Lời giải trong sách đặt

$\underset{e_{a}}{\rightarrow}=\frac{\underset{OA_{2}}{\rightarrow}}{OA_{2}}$....

CHo em hỏi tại sao phải đặt như thế ạ ? Nếu anh chị nào có đường link về định lí con nhím thì càng tốt nhé !

P/s: Thanks

Hiện nay em đang học hình học vecto nhưng lại thắc mắc định lí con nhím . Vectơ đơn vị theo em biết thì là vectơ =1 nhưng khi làm bài tập  thì sách đặt vecto đơn vị là một đống khác \

VD :Cho tan giác ABC và điểm O nằm trong tam giác . Gọi $A_{1}, B_{1},C_{1}$ theo thứ tự là hìn chiếu của O lên BC ,CA ,AB . Trên các tịa $OA_{1},OB_{1},OC_{1}$ theo thứ tự lấy các điểm $A_{2},B_{2},C_{2}$ sao cho $OA_{2}=BC,OB_{2}=CA,OC_{2}=AB$. Chứng mình rằng O  là trọng tâm của tam giác $A_{2}B_{2}C_{2}$

Lời giải trong sách đặt

$\underset{e_{a}}{\rightarrow}=\frac{\underset{OA_{2}}{\rightarrow}}{OA_{2}}$....

CHo em hỏi tại sao phải đặt như thế ạ ? Nếu anh chị nào có đường link về định lí con nhím thì càng tốt nhé !

P/s: Thanks

$x^{3}+y^{3}-3xy=1 \Rightarrow (x+y)^{3}-3xy(x+y+1)=1 $$x^{3}+y^{3}-3xy=1 \Rightarrow (x+y)^{3}-3xy(x+y+1)=1 \Rightarrow (x+y)^{3}=1+3xy(x+y+1)$

 mà $3xy(x+y+1)\equiv 0(mod3), 1\equiv -2(mod3), mà(x+y)^{3}\not \equiv -2 (mod3)\Rightarrow S=\varnothing$

$\left\{\begin{matrix} \frac{b^{2}}{c}+4c\geq 4b & & \\ \frac{4c^{2}}{a}+a\geq 4c & & \\ \frac{a^{2}}{b}+b\geq 2a& & \end{matrix}\right.$

Cộng vế theo vế ta có ĐPCM . 

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=2c$

đáp án là n=6k+3 mà , dùng số phức là đơn giản nhất

Chắc mình nhầm trong tính toán , để xem lại ! 

đáp án là n=6k+3 mà , dùng số phức là đơn giản nhất

Bạn trình bày cách làm số phức của bạn ra đi ( Ý tưởng thôi cũng được nhưng phải cụ thể chứ bạn )

bạn khanghaxuan giải sai câu b rồi , dãy này chưa xác định đc tăng hay giảm 
câu a thì không cần phức tạp như vậy

Mình đã xác định là dãy giảm ở trên rồi đó !

 

Ngày thi thứ nhất.

Câu 1. Cho $a$ là một số thục không âm và $(u_n)$ là dãy số xác định bởi $$u_1=3,\, u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\frac{n^2}{4n^2+a}\sqrt{u_n^2+3}\text{ với mọi } n\geq 1.$$

a) Với $a=0$, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Với mọi $a\in[0,1]$, chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn.

Câu 2. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng $$3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq(a+b+c)^2.$$

Câu 3. Cho số nguyên dương $K$. Tìm số tự nhiên $n$ không vượt quá $10^K$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) $n$ chia hết cho 3
ii) các chữ số trong biểu diễn thập phân của $n$ thuộc tập hợp $\{2, 0, 1, 5\}$.

Câu 4. Cho dường tròn $(O)$ và hai điểm $B, C$ cố định trên $(O)$, $BC$ không là đường kính. Một điểm $A$ thay đổi trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $E, F$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B, C$ của tam giác $ABC$. Cho $(I)$ là đường tròn thay đổi đi qua $E, F$ và có tâm là $I$.

a) Giả sử $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại điểm $D$. Chứng ming rằng $\dfrac{DB}{DC}=\sqrt{\dfrac{\cot B}{\cot C}}.$
b) Giả sử $(I)$ cắt cạnh $BC$ tại hai điểm $M, N$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $P, Q$ là các giao điểm của $(I)$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$. Đường tròn $(K)$ đi qua $P, Q$ và tiếp xúc với $(O)$ tại điểm $T$ ($T$ cùng phía $A$ đối với $PQ$). Chứng minh rằng đường phân giác trong của góc $\widehat{MTN}$ đi qua một điểm cố định.

 

 

Bài 1 :  

a.  Với $a=0$ thì dãy viết lại như sau :         $\left\{\begin{matrix} u_{1}=3 & \\ u_{n+1}=\frac{1}{2}u_{n}+\frac{1}{4}\sqrt{u^{2}_{n}+3} & \end{matrix}\right.$

     Th1:   $$u_{n}\in \begin{bmatrix} 1;\infty \end{bmatrix}$$  (**)

Xét  $u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{4}\sqrt{u^{2}_{n}+3}-\frac{u_{n}}{2}$ (*)

Giả sử $u_{n}$  là hàm tăng thì (*) $\Leftrightarrow \sqrt{u^{2}_{n}+3} >  2u_{n}\Leftrightarrow u_{n}<1$  ( vô lý ) 

nên $u_{n}$ là hàm giảm  mà kết hợp với (**) nên $u_{n}$ có giới hạn hữu hạn .   

Gọi    $lim u_{n}=L$   ,  chuyển qua giới hạn ta có :    $L=1$  nên    $lim u_{n}=1$

  Hiển nhiên ta có $u_{n}>0$ 

 Th2 :        $0< u_{n}\leq 1$ (***)  ,  tương tự như trên ta cũng chứng minh được  $u_{n}$ là hàm số tăng mà kết hợp với  (***)

ta được  $u_{n}$ tăng và bị chặn trên nên    $lim u_{n}=1$

b.         Th1 :   $u_{n}\in \begin{bmatrix} 1;\infty \end{bmatrix}$  ,  chứng minh tương tự câu a  nên dãy có giới hạn hữu hạn 

            Th2 :   $0 < u_{n}\leq 1 $  ta cũng sẽ chứng minh $u_{n}$ là hàm tăng như sau :      

Xét :  $u_{n+1}-u_{n}=\frac{n^{2}}{4n^{2}+a}\sqrt{u^{2}_{n}+3}-\frac{1}{2}u_{n}$

Sau đó sử dụng đánh giá  :   $a <1$  rồi đưa về biểu thức sau :   $u^{2}_{n}=\frac{12n^{4}}{12n^{4}+8n^{2}+1}<1 \rightarrow u_{n}<1$  (đúng )

nên $u_{n}$  tăng và bị chặn trên nên  $u_{n}$ có giới hạn hữu hạn 

câu 1 ngày 2 dùng phuơng trình đặc trưng để tìm cttq của fn(x) rồi dùng số phức

Dùng số phức là sao bạn ? 

 

NGÀY 2

Bài 5: (7,0 điểm) Cho $(f_n(x))$ là dãy đa thức xác định bởi:B

$f_0(x)=2,f_1(x)=3x,f_n(x)=3xf_{n-1}(x)+(1-x-2x^2)f_{n-2}(x)$ với mọi $n\ge 2$. 

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để $f_n(x)$ chia hết cho đa thức $x^3-x^2+x$.

 

Bài 6 (7 điểm). Với $a,n$ nguyên dương, xét phương trình $a^2x+6ay+36z=n$, trong đó $x,y,z$ là các số tự nhiên

a) Tìm tất cả các giá trị của $a$ để với mọi $n\ge 250$, phương trình đã cho luôn có nghiệm $(x,y,z)$.

b) Biết rằng $a>1$ và nguyên tố cùng nhau với $6$. Tìm giá trị lớn nhất của $n$ theo $a$ để phương trình đã cho không có nghiệm $(x,y,z)$.

 

Bài 7 (6 điểm) Cho $m$ học sinh nữ và $n$ học sinh nam $(m,n\ge 2)$ tham gia một Liên hoan Song ca. Tai Liên hoan song ca, mỗi buổi biểu diễn văn nghệ. Mỗi chương trình văn nghệ bao gồm một số bài song ca nam-nữ mà trong đó mỗi đôi nam-nữ chỉ hát với nhau không quá một bài và mỗi học sinh đều được hát ít nhất một bài. Hai chương trình được coi là khác nhau nếu có một cặp nam-nữ hát với nhau ở chương trình này nhưng không hát với nhau ở chương trình kia. Liên hoan Song cả chỉ kết thúc khi tất cả các chương trình khác nhau cỏ thế có đều được biểu diễn, mỗi chương trình được biểu diễn đúng một lần.

a) Một chương trình được gọi là lệ thuộc vào học sinh X nếu như hủy tất cả các bài song ca mà X tham gia thì có ít nhất một học sinh khác không được hát bài nào trong chương trình đó. Chứng minh rằng trong tất cả các chương trình lệ thuộc vào X thì số chương trình có số lẻ bài hát bằng số chương trình có số chẵn bài hát.

b) Chứng minh rằng Ban tổ chức Liên hoan có thể sắp xếp các buổi biểu diễn sao cho số các bài hát tại hai buổi biểu diễn liên tiếp bất kỳ không cùng tính chẵn lẻ.

 

Bài 1   :    $\left\{\begin{matrix} f_{0}(x)=2 , f_{1}(x)=3x & \\ f_{n}(x)=3xf_{n-1}(x)+(1-x-2x^{2})f_{n-2}(x) & \end{matrix}\right.$  

Áp dụng phương pháp sai phân bậc 2 ta tìm được công thức tổng quát :   

                                              $f_{n}(x)=(2x-1)^{n}+(x+1)^{n}$   
 

Khai triển rồi nhóm lại ta được :   

        $f_{n}(x)=x^{n}.(2^{n}+1)+...+(-1)^{n}+1^{n}$  (*)

 Để (*) chia hết cho  $x^{3}-x^{2}+x$  thì $n$ là một số lẻ và được viết dưới dạng sau :  

$x(x^{2}-x+1)(x^{n-3}.C_{1}+....+x.C_{n-3}+C_{n-2})$

Xét đa thức $g(x)=x^{n-1}(2^{n}+1 )+...+C^{n-1}_{n}$ 

                     $h(x)=x^{3}.C_{1}+...+C_{n-2}$

Ta có :  Tổng các hệ số của đa thức $g(x)$ bằng tổng hệ số của đa thức $h(x)$ (  $h(x)$ là đa thức thương của $g(x)$ với $x^{2}-x+1$ 

Ta xác định được :   $C_{1}=2^{n}+1$ 

                                 $C_{n-2}=C^{n-1}_{n}$

Tới đây bước tính toán của em hơi khủng !!!!! 

$C_{3}=C^{2}_{n}(2^{n-2}-1)+C^{1}_{n}(2^{n-1}+1)$ 

$C_{4}=C^{3}_{n}(2^{n-3}-1)+C^{2}_{n}(2^{n-2}+1)-2^{n}-1$

Cứ tiếp tục như thế  (  Khúc sau khủng quá nên lười ghi )

Cuối cùng cân bằng hệ số giữa  $C_{n-2}$  trong khai triển trên với $C_{n-2}$ trong đa thức $g(x)$

Ta tìm được :  $n=3$ thỏa đề bài .  

P/s : Cái khúc tính toán để em xem lại nhé ! ( Dấu $+$ , $-$  loạn xạ ) 

Ta có: $$f(n^{2})=n^{4}+n^{2}+1=(n^{2}-n+1)(n^{2}+n+1)$$

$\Rightarrow VT(1)=2015(1^{2}-1+1)(1^{2}+1+1)...(n^{2}-n+1)(n^{2}+n+1)$

 

Lại có: $$n^{2}+n+1=(n+1)^{2}-(n+1)+1$$

$\Rightarrow VT(1)=2015.(1^{2}+1+1)^{2}.(2^{2}+2+1)^{2}...\begin{bmatrix} (n-1)^{2}+(n-1)+1 \end{bmatrix}^{2}.(n^{2}+n+1)$

 

$\Rightarrow VT(1)=2015\begin{bmatrix} f(1)f(2)...f(n) \end{bmatrix}^{2}.\frac{1}{n^{2}+n+1}$

 

Theo giả thiết đề bài ta được: 

$$\frac{2015}{n^{2}+n+1}\geq 1\Leftrightarrow n^{2}+n+1\leq 2015\Leftrightarrow n\leq 44$$

 

Vậy giá trị lớn nhất của $n$ là $44$

 

USA NIMO - Contest 15 (15/09/2014)

 
Bài 1: Cho tam giác $ABC$ với độ dài các cạnh $AB,$ $BC,$ $CA$ lần lượt là $13, 14$ và $15$. Lấy một điểm $D$ nằm trong $\Delta ABC$ sao cho $\overline{BD} \perp \overline{CD}$ và $\overline{AD} \perp \overline{BC}$.
Ta có độ dài đoạn thẳng $AD$ có thể biễu diễn được dưới dạng $\left( m-\sqrt{n}\right)$, với $m$ và $n$ là các số nguyên dương. Hãy tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Michael Ren

Bài 2: Trong hình vẽ dưới đây, có bao nhiêu cách mà ta có thể chọn các cặp hình vuông không kề nhau (có chung cạnh)?
 

Proposed by Evan Chen

Bài 3: Với $S = \left\{ 1,2, \dots, 2014 \right\}$, giả sử rằng
$$\sum_{T \subseteq S} i^{\left\lvert T \right\rvert} = p + qi$$
Trong đó, $p$ và $q$ là các số nguyên, $i = \sqrt{-1}$, và tổng trên được thực hiện với tất cả $2^{2014}$ tập con của $S$. Tìm số dư khi chia $\left\lvert p\right\rvert + \left\lvert q \right\rvert$ cho $1000$. ($\left\lvert X \right\rvert$ được dùng để ký hiệu cho số các phần tử của tập hợp $X$.)

Proposed by David Altizio

Bài 4: Cho các điểm $A,$ $B,$ $C,$ và $D$ trên một đường tròn sao cho dậy cung $\overline{AC}$ và $\overline{BD}$ cắt nhau tại một điểm $E$ nằm trong đường tròn. Giả sử $\angle ADE =\angle CBE = 75^\circ,$ $BE=4,$ và $DE=8$.
Biết rằng giá trị $AB^2$ có thể viết được dưới dạng $a+b\sqrt{c}$ với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$; và $c$ không chia hết cho bình phương của một số nguyên tố nào. Tìm giá trị của $a+b+c$.

Proposed by Tony Kim

Bài 5: Cho $r,$ $s,$ $t$ là các nghiệm của đa thức $x^3+2x^2+x-7$. Theo đó, ta có:
$$\left(1+\frac{1}{(r+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(s+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(t+2)^2}\right)=\frac{m}{n}$$
Với $m$ và $n$ là các số nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Justin Stevens

Bài 6: Với mỗi số nguyên dương $k$, ta lấy $f(k)=k^2+k+1$. Hãy tính giá trị lớn nhất của số nguyên dương $n$ sao cho
$$2015f(1^2)f(2^2)\cdots f(n^2)\geq \Big(f(1)f(2)\cdots f(n)\Big)^2$$.

Proposed by David Altizio

Bài 7: Tìm tổng các ước số nguyên tố của $67208001$, biết rằng $23$ là một trong các số đó.

Proposed by Justin Stevens

Bài 8: Với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$, lấy
$$f(a,b,c)=\frac{abc}{\text{gcd}(a,b,c)\cdot\text{lcm}(a,b,c)}$$.
Ta gọi số nguyên dương $n$ là $f@$ nếu tồn tại bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau $x,y,z\leq 60$ sao cho $f(x,y,z)=n$. Hỏi có tổng cộng bao nhiêu số nguyên dương $f@$?

(Ở đây, $gcd(a,b,c)$ và $lcm(a,b,c)$ được dùng để ký hiệu cho ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của bộ số $(a,b,c)$)

Proposed by Michael Ren

 

Bài 1 :   

            Ta dễ dàng tính được :         $\left\{\begin{matrix} AH=12 & & & \\ BH=5 & & & \\ CH=9 & & & \\ DH=\sqrt{45} & & & \end{matrix}\right.$        

                                                  ( trong đó H là giao điểm của $ AD$ và $BC$ )  

Từ đó tính được    :      $AD=12-\sqrt{45}=m-\sqrt{n}$  

Ta suy ra   :                 $m=12 , n=45$    suy ra  :      $100m+n=1245$

 

USA NIMO - Contest 15 (15/09/2014)

 
Bài 1: Cho tam giác $ABC$ với độ dài các cạnh $AB,$ $BC,$ $CA$ lần lượt là $13, 14$ và $15$. Lấy một điểm $D$ nằm trong $\Delta ABC$ sao cho $\overline{BD} \perp \overline{CD}$ và $\overline{AD} \perp \overline{BC}$.
Ta có độ dài đoạn thẳng $AD$ có thể biễu diễn được dưới dạng $\left( m-\sqrt{n}\right)$, với $m$ và $n$ là các số nguyên dương. Hãy tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Michael Ren

Bài 2: Trong hình vẽ dưới đây, có bao nhiêu cách mà ta có thể chọn các cặp hình vuông không kề nhau (có chung cạnh)?
 

Proposed by Evan Chen

Bài 3: Với $S = \left\{ 1,2, \dots, 2014 \right\}$, giả sử rằng
$$\sum_{T \subseteq S} i^{\left\lvert T \right\rvert} = p + qi$$
Trong đó, $p$ và $q$ là các số nguyên, $i = \sqrt{-1}$, và tổng trên được thực hiện với tất cả $2^{2014}$ tập con của $S$. Tìm số dư khi chia $\left\lvert p\right\rvert + \left\lvert q \right\rvert$ cho $1000$. ($\left\lvert X \right\rvert$ được dùng để ký hiệu cho số các phần tử của tập hợp $X$.)

Proposed by David Altizio

Bài 4: Cho các điểm $A,$ $B,$ $C,$ và $D$ trên một đường tròn sao cho dậy cung $\overline{AC}$ và $\overline{BD}$ cắt nhau tại một điểm $E$ nằm trong đường tròn. Giả sử $\angle ADE =\angle CBE = 75^\circ,$ $BE=4,$ và $DE=8$.
Biết rằng giá trị $AB^2$ có thể viết được dưới dạng $a+b\sqrt{c}$ với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$; và $c$ không chia hết cho bình phương của một số nguyên tố nào. Tìm giá trị của $a+b+c$.

Proposed by Tony Kim

Bài 5: Cho $r,$ $s,$ $t$ là các nghiệm của đa thức $x^3+2x^2+x-7$. Theo đó, ta có:
$$\left(1+\frac{1}{(r+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(s+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(t+2)^2}\right)=\frac{m}{n}$$
Với $m$ và $n$ là các số nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Justin Stevens

Bài 6: Với mỗi số nguyên dương $k$, ta lấy $f(k)=k^2+k+1$. Hãy tính giá trị lớn nhất của số nguyên dương $n$ sao cho
$$2015f(1^2)f(2^2)\cdots f(n^2)\geq \Big(f(1)f(2)\cdots f(n)\Big)^2$$.

Proposed by David Altizio

Bài 7: Tìm tổng các ước số nguyên tố của $67208001$, biết rằng $23$ là một trong các số đó.

Proposed by Justin Stevens

Bài 8: Với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$, lấy
$$f(a,b,c)=\frac{abc}{\text{gcd}(a,b,c)\cdot\text{lcm}(a,b,c)}$$.
Ta gọi số nguyên dương $n$ là $f@$ nếu tồn tại bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau $x,y,z\leq 60$ sao cho $f(x,y,z)=n$. Hỏi có tổng cộng bao nhiêu số nguyên dương $f@$?

(Ở đây, $gcd(a,b,c)$ và $lcm(a,b,c)$ được dùng để ký hiệu cho ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của bộ số $(a,b,c)$)

Proposed by Michael Ren

 

Bài 3 :  Vì $\left | T \right |$  là số phần tử của tất cả các tập hợp của $A=\begin{Bmatrix} 1,2,,...,2014 \end{Bmatrix}$ 

Nên  ta sẽ có tổng sau :    

                             $2014.i^{1}+C^{2}_{2014}.i^{2}+...+C^{2014}_{2014}.i^{2014}$ (*)

Nhận xét  : 1.     $i^{k}+i^{2014-k}=i^{k}(1+(-1)^{1007-k})\Rightarrow i^{k}+i^{2014-k}=0$ (   với $k$ là số chẵn )  

                    2.      $i^{2k+1}+i^{2013-2k}=i(i+1).(-1)^{k}$

Từ đó (*) viết lại :           $(C^{1}_{2014}-C^{3}_{2014}+...+C^{2013}_{2014})i(i+1)$

Từ đây ta tính được   :        $\begin{bmatrix} p=2^{2013} & \\ q=-2^{2013} & \end{bmatrix}$ 

Vậy số dư là   :  0  

P/s :  Không biết có đúng không nhưng ý tưởng là như thế !  

 

USA NIMO - Contest 15 (15/09/2014)

 
Bài 1: Cho tam giác $ABC$ với độ dài các cạnh $AB,$ $BC,$ $CA$ lần lượt là $13, 14$ và $15$. Lấy một điểm $D$ nằm trong $\Delta ABC$ sao cho $\overline{BD} \perp \overline{CD}$ và $\overline{AD} \perp \overline{BC}$.
Ta có độ dài đoạn thẳng $AD$ có thể biễu diễn được dưới dạng $\left( m-\sqrt{n}\right)$, với $m$ và $n$ là các số nguyên dương. Hãy tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Michael Ren

Bài 2: Trong hình vẽ dưới đây, có bao nhiêu cách mà ta có thể chọn các cặp hình vuông không kề nhau (có chung cạnh)?
 

Proposed by Evan Chen

Bài 3: Với $S = \left\{ 1,2, \dots, 2014 \right\}$, giả sử rằng
$$\sum_{T \subseteq S} i^{\left\lvert T \right\rvert} = p + qi$$
Trong đó, $p$ và $q$ là các số nguyên, $i = \sqrt{-1}$, và tổng trên được thực hiện với tất cả $2^{2014}$ tập con của $S$. Tìm số dư khi chia $\left\lvert p\right\rvert + \left\lvert q \right\rvert$ cho $1000$. ($\left\lvert X \right\rvert$ được dùng để ký hiệu cho số các phần tử của tập hợp $X$.)

Proposed by David Altizio

Bài 4: Cho các điểm $A,$ $B,$ $C,$ và $D$ trên một đường tròn sao cho dậy cung $\overline{AC}$ và $\overline{BD}$ cắt nhau tại một điểm $E$ nằm trong đường tròn. Giả sử $\angle ADE =\angle CBE = 75^\circ,$ $BE=4,$ và $DE=8$.
Biết rằng giá trị $AB^2$ có thể viết được dưới dạng $a+b\sqrt{c}$ với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$; và $c$ không chia hết cho bình phương của một số nguyên tố nào. Tìm giá trị của $a+b+c$.

Proposed by Tony Kim

Bài 5: Cho $r,$ $s,$ $t$ là các nghiệm của đa thức $x^3+2x^2+x-7$. Theo đó, ta có:
$$\left(1+\frac{1}{(r+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(s+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(t+2)^2}\right)=\frac{m}{n}$$
Với $m$ và $n$ là các số nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Justin Stevens

Bài 6: Với mỗi số nguyên dương $k$, ta lấy $f(k)=k^2+k+1$. Hãy tính giá trị lớn nhất của số nguyên dương $n$ sao cho
$$2015f(1^2)f(2^2)\cdots f(n^2)\geq \Big(f(1)f(2)\cdots f(n)\Big)^2$$.

Proposed by David Altizio

Bài 7: Tìm tổng các ước số nguyên tố của $67208001$, biết rằng $23$ là một trong các số đó.

Proposed by Justin Stevens

Bài 8: Với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$, lấy
$$f(a,b,c)=\frac{abc}{\text{gcd}(a,b,c)\cdot\text{lcm}(a,b,c)}$$.
Ta gọi số nguyên dương $n$ là $f@$ nếu tồn tại bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau $x,y,z\leq 60$ sao cho $f(x,y,z)=n$. Hỏi có tổng cộng bao nhiêu số nguyên dương $f@$?

(Ở đây, $gcd(a,b,c)$ và $lcm(a,b,c)$ được dùng để ký hiệu cho ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của bộ số $(a,b,c)$)

Proposed by Michael Ren

 

Bài 4 :      Ta có :      $\widehat{ADE}=\widehat{DAE}=\widehat{CBE}=\widehat{BCE}=75^{0}$

         Từ đó suy ra :    $\widehat{DEA}=30^{0}$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ADE :        

                                                              $AD=4.cos{75}=\sqrt{6}+\sqrt{4}$

Tiếp :   áp dụng  định lí cos cho tam giác ADB  : 

                                    $AB^{2}=104-12\sqrt{12}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=104 & & \\ b=-12 & & \\ c=12 & & \end{matrix}\right.$

Từ đây suy ra :     $a+b+c=104-12+12=104$

Cậu cố gắng theo dõi thường xuyên vì nếu bài nào mới mình up vào bổ sung vào đúng mục của nó để tránh lộn xộn

Bạn bắn cho vài tài liệu về phần graph nhé !

Gọi toạ đô điểm $B(x;-x^{2})\Rightarrow AB=\sqrt{(x-6)^{2}+(x^{2}-3)^{2}}\geq \frac{|x^{2}+x-9|}{\sqrt{2}} \Rightarrow B(\frac{-1}{2};\frac{-1}{4})$

sao e thấy câu BĐT cuối năm nay chưa đủ level như mọi khi

Chuẩn luôn . Hình như đề năm nay dễ hơn mọi khi thì phải  . Nhận xét đề thấy có câu khó là : Hình học Oxy (vì dốt phần này ) . Còn 2 câu cuối hình như khá nhẹ tay 

Nhận định về đề thi năm nay

Sau đây là chia sẻ trên các trang báo mạng của một vài Thí Sinh vừa thi xong đại học năm nay:

..................

- Zing.vn: Đề thi năm nay không khó. Em làm sai có một câu. Mấy câu kia em không làm

- VnExpress: đề thi năm nay nói chung là vừa sức các bạn và quá sức em

- Kênh 14: Đề thi năm nay dễ, em làm bài theo 4 bước: đọc đề, chửi thề, xé đề, đi về

- Dantri.vn: Đề năm nay 9 điểm nằm chắc trong tay em. Còn 1 điểm nằm trên giấy

- Truyencuoihay.vn: Cám ơn bộ giáo dục đã chắp cánh ước mơ phục vụ quân đội của em

- Tiin.vn: Đề thi năm nay được đánh giá là vừa sức với giáo viên

- Cười Vui Nhộn: Đề thi năm nay dễ, nhưng em không biết làm

- Facebook: Đề thi năm nay rất dễ......đọc....Công nhận chất lượng máy in tốt ghê

- Haivl,com: Đề thi năm nay dễ

- Mp3.zing.vn : bài Trang Giấy Trắng của Phạm Trường có số lượt nghe tăng vọt

Anh kết câu của dantri.vn đấy

Mới nhìn đề mẹ phán : " Giá như hồi đó mẹ sinh con ra sớm 2 năm thì bây giờ con có thể đã full đề toán " 

vì số thư gửi đi và về của 2 người là một số chẵn mà đề cho là mỗi người gửi cho 3 người còn lại là một số lẽ nên vô lý vậy suy ra ĐPCM

Topic dạo này vắng quá T.T Em ủng hộ $1$ số bài :

Bài 46. Cho $6$ số nguyên dương tùy ý . Chứng minh rằng luôn có thể chọn được $2$ bộ $3$ số mà trong mỗi bộ, từng đội một đều là nguyên tố cùng nhau hoặc đều không nguyên tố cùng nhau.

Từ bài toán trên , ta có thể quy về bài toán sau : Cho  6 điểm trên mặt phẳng , mỗi cạnh được tô bởi 2 màu , chứng minh rằng luôn tồn tại 3 cạnh được tô cùng 1 màu . 

(Bài toán này chứng minh không quá khó )

Bài 48 : ( pp truy hồi ) Chia hình vuông thành n phần bằng nhau , thành các hình vuông nhỏ . Trong mỗi hình vuông nhỏ ta kẻ hai đường chéo . TÌm tất cả các hình vuông được tạo thành . 

P/s : Topic mấy hôm nay sao thấy cô quạnh vậy ạ . Buồn . 

=======================

@modLNH: nó cô quạnh được cả năm rồi bạn

@supermember: thèng Hoàng vào giải đi cu.

Topic đóng bụi quá dày rồi ! 

Làm một bài để '' quét dọn '' 

Bài 47 : ( pp truy hồi )  Tìm số hoán vị của tập $A={1,2,...,n}$ sao cho mỗi hoán vị đều thỏa : $2.(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})\vdots k$ ( với $k\in {1,2,...,n}$ ) 

 

Các bạn giải giúp mình bài này với:

Cho a, b là 2 số không âm, thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}=4$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$M=\frac{ab}{a+b+2}$

 

Không cần phải khảo sát ở chỗ $M\leq \frac{ab}{2\sqrt{ab}+2}$

Tới đó biến đổi tương đương : $\frac{ab}{2\sqrt{ab}+2}\leq \sqrt{2}-1\Leftrightarrow (\sqrt{ab}-\sqrt{2})(\sqrt{ab}+2-\sqrt{2})\leq 0$

Điều này đúng do : $4=a^{2}+b^{2}\geq 2ab\Rightarrow \sqrt{ab}\leq \sqrt{2}$

P/s : Đôi khi cũng phải linh hoạt