Một bài tập nhỏ về quả cầu đóng $B'(a,r)$
Bài toán: Cho $\left ( E,\left \| . \right \| \right )$ là một $\mathbb{R}$ - không gian vector định chuẩn, $(a,b)\in E^2 \,\,,\,\, (r,s)\in \mathbb{R^{2}_{+}}\,\,,\,\, \lambda\in \mathbb{R}$
Chứng minh rằng:
1) $B'\left ( a,r \right )=a+B'\left ( 0,r \right )$
2) $B'\left ( 0,r \right )+B'(0,s)=B'\left ( 0,r+s \right )$
3) $B'\left ( a,r \right )+B'(b,s)=B'\left ( a+b,r+s \right )$
4) $\lambda B'\left ( a,r \right )=B'\left ( \lambda a,\left | \lambda \right |r \right )$
5) $B'\left ( a,r \right )\bigcap B'\left ( b,s \right )\neq \varnothing$ $ \Leftrightarrow$ $\left \| a-b \right \|\leq r+s$
6) $B'\left ( a,r \right )\subset B'\left ( b,s \right )$ $\Leftrightarrow$ $\left \| a-b \right \|\leq s-r$
7) $B'\left ( a,r \right )= B'\left ( b,s \right )$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}a=b\\ r=s\end{matrix}\right.$