$\sqrt{(4-x)(x+6)}=x^2-2x-12$

Bài toán:

$$2^{3x}+3^{\dfrac{2}{x}}=17$$

Bài toán:

$$7^{\dfrac{x-x^2}{8}} <7^{1-x}.(\sqrt[8]{7})^{x^2}+6$$

Bài toán: Tìm $m$ để pt có nghiệm duy nhất: $4x^3-3x-2m+3=0$ có nghiệm duy nhất.

Tìm $m$ để bpt sau có nghiệm: 

$$\begin{cases} 2x^3-(y+2)x^2+xy=m \\  x^2+x-y=1-2m \end{cases}$$

Câu hỏi: Chứng minh rằng với mọi tam giác $ABC$ ta luôn có:

$$\dfrac{\cos(\dfrac{B}{2}-\dfrac{C}{2})}{\sin \dfrac{A}{2}}+\dfrac{\cos(\dfrac{C}{2}-\dfrac{A}{2})}{\sin \dfrac{B}{2}}+\dfrac{\cos(\dfrac{A}{2}-\dfrac{B}{2})}{\sin \dfrac{C}{2}} \leq 2(\dfrac{\tan \dfrac{A}{2}}{\tan \dfrac{B}{2}}+\dfrac{\tan \dfrac{B}{2}}{\tan \dfrac{C}{2}}+\dfrac{\tan \dfrac{C}{2}}{\tan \dfrac{A}{2}})$$

Giải hệ pt sau:

$\begin{cases} a \not = b \\ (a-2)(b-2)+\dfrac{4ab}{(a-1)(b-1)}=0 \\ (a-2)^2+\dfrac{4a^2}{(a-1)^2}=(b-2)^2+\dfrac{4b^2}{(b-1)^2} \end{cases}$

Cho hàm số $y=x^3+(102m)x^2+(2-m)x+m+2$ (1) $m$ là tham số.

Tìm tham số $m$ để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng $d: x+y+7=0$ một góc $\alpha$, biết $\cos \alpha=\dfrac{1}{\sqrt{26}}$

Giải PT:

$x^3+(3-\sqrt{x^2+2})x=1+2\sqrt{x^2+2}$

Giải PT:

$\sqrt{x+2}+\sqrt{x^2+6}-\sqrt{x^2-2x+4}-x^2=0$

GPT:

$(\sqrt{2-x^2}+1)(3-x^2)+4x-4=0$

Giải pt: 

$(2-x)\sqrt{x+1}+x^2-x+1=0$

1, $\sqrt{x^2+5}=x+1+\sqrt{x^2+3x+4}$

2, $\sqrt{x^2+5x+4}=\sqrt{x^2+3x}+2x$

3, $\sqrt{5x^2+2x}-\sqrt{5x^2+x+4}=x+4$

Giải hệ: 

$\begin{cases} &  (4x^2-4xy+4y^2-51)(x-y)^3+3=0 \\ &  (2x-7)(x-y)+1=0 \end{cases}$

Bài toán: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P): x+y-z+2=0$ và các điểm $A(1;1;1), B(2;3;1)$. Mặt cầu $(S)$ thay đổi qua $A,B$ và tiếp xúc với $(P)$ tại $C$. Biết rằng $C$ luôn thuộc một đường tròn cố định. Tính diện tích $S$ của đường tròn đó

Bài toán: 

Tìm trên trục hoành điểm $M$ sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến $A$ và $B$ là nhỏ nhất biết:

a, $A(1;2), B(1;1)$

b, $A(-1;2),B(2;1)$

c, $A(-2;-1); B(-1;-1)$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(3;4;5)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $(2k+1)x-(2k-1)y+(k+1)z+3=0$ ($k$ là tham số). Hình chiếu vuông góc của $A$ trên $(P)$ thuộc một đường tròn $(C)$ cố định. Bán kính $r$ của đường tròn $(C)$ bằng bao nhiêu

$A. \dfrac{\sqrt{10998}}{26}$

$B . \dfrac{\sqrt{11998}}{20}$

$C. \dfrac{\sqrt{846}}{13}$

$D. \dfrac{\sqrt{12018}}{10}$

Bài 5 bài 4 hướng giải là sao vậy mn?

Giải hpt $\left\{\begin{matrix} x^3-3x^2+2=\sqrt{y^3+3y^2} & & \\ 3\sqrt{x-2}=\sqrt{y^2+8}& & \end{matrix}\right.$

ĐK: $x \geq 2; y \geq -3$

TH1: $y>0$

$(1) \iff x^3-3x^2+2=y\sqrt{y+3} \rightarrow (x-1)(x^2-2x-2) >0 \rightarrow x^2-2x-2>0$

$\iff (x^3-3x^2+3x-1)-3(x-1)=(y+3)\sqrt{y+3}-3\sqrt{y+3}$

$\iff (x-1)^3-3(x-1)=\sqrt{y+3}^3-3\sqrt{y+3}$

$\iff (x-1-\sqrt{y+3})[(x^2-2x-2)+(y+3)+(x-1)\sqrt{y+3}]=0$

$\iff x-1=\sqrt{y+3}$ (vì phần trong ngoặc luôn dương)

Đến đây bạn thay xuống pt (2)...

TH2: bạn làm tương tự: $-3 \leq y<0$

$\iff (x^3-3y^2+3y-1)-3(x-1)=-(y+3)\sqrt{y+3}+3\sqrt{y+3}$

$4x^{3}+x=(x+1)\sqrt{2x+1}$

ĐK: $x \geq \dfrac{-1}{2}$
 

$\iff 8x^3+2x=(2x+2)\sqrt{2x+1}$

$\iff (2x)^3+2x=(2x+1)\sqrt{2x+1}+\sqrt{2x+1}$

$\iff (2x)^3+2x=\sqrt{2x+1}^3+\sqrt{2x+1}$

$\rightarrow 2x=\sqrt{2x+1}$

Đến đây xét đk và bình phương

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{3x}+\frac{2x}{3y}=\frac{x+\sqrt{y}}{2x^2+y}\\2x(1+y)=(2+\sqrt{y})\sqrt{2x+1} \end{matrix}\right.$

ĐK: $x,y \not =0$

Nhân cả 2 vế với $xy$ ta có:

$\iff \dfrac{y}{3}+\dfrac{2x^2}{3}=\dfrac{x^2y+xy\sqrt{y}}{2x^2+y}$

$\iff \dfrac{2x^2+y}{3}=\dfrac{x^2y+xy\sqrt{y}}{2x^2+y}$

Giải hệ pt
$sqrt{2y^2-7y+10-x(y+3)}+sqrt{y+1}=x+1$
Và $\sqrt{y+1}+\dfrac{3}{x+1}=x+2y$

Min $A=\frac{x^2}{x+1}$ khi $x \geq 2$

$A=\dfrac{x^2}{x+1}+\dfrac{4(x+1)}{9}-\dfrac{4(x+1)}{9} \geq \dfrac{4x}{3}-\dfrac{4x}{9}-\dfrac{4}{9}=\dfrac{8x}{9}-\dfrac{4}{9} \geq \dfrac{16}{9}-\dfrac{4}{9}=\dfrac{4}{3}$

$MinA=\dfrac{4}{3} \iff x=2$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a^2+b^2=c^2+1$. Tìm GTNN của $P=\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(c+a)^3}}+\frac{2c^3+1}{27}$

Ta có: $\sqrt{\dfrac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+(\dfrac{b+c}{a})^3}}=\dfrac{1}{\sqrt{(1+\dfrac{b+c}{a})((\dfrac{b+c}{a})^2-\dfrac{b+c}{a}+1)}} \geq \dfrac{2}{(\dfrac{b+c}{a})^2+2}=\dfrac{2a^2}{(b+c)^2+2a^2} \geq \dfrac{2a^2}{2b^2+2c^2+2a^2}=\dfrac{a^2}{2c^2+1}$

TT: $\sqrt{\dfrac{b^3}{b^3+(a+c)^3}} \geq \dfrac{b^2}{2c^2+1}$

Ta có: $P \geq \dfrac{a^2+b^2}{2c^2+1}+\dfrac{2c^3+1}{27}=\dfrac{c^2+1}{2c^2+1}+\dfrac{2c^3+1}{27}$

Ta có: $f'(c)=\dfrac{-2c}{(2c^2+1)^2}+\dfrac{2c^2}{9}$

$f'(c)=0 \iff c=0;c=1$

Vậy $MIN_{P}=f(1)=\dfrac{7}{9} \iff c=1; a=b=1$

Cho các số thực $x>\dfrac{1}{3}; y>\dfrac{1}{2}; z>1$ thỏa mãn: $\dfrac{3}{3x+2}+\dfrac{2}{2y+1}+\dfrac{1}{z} \geq 2$

 

Tìm giá trị lớn nhất của: $A=(3x-1)(2x-1)(z-1)$

$\dfrac{3}{3x+2}+\dfrac{2}{2y+1}+\dfrac{1}{z} \geq 2$

$\iff \dfrac{1}{(x-\dfrac{1}{3})+1}+\dfrac{1}{(y-\dfrac{1}{2})+1}+\dfrac{1}{(z-1)+1} \geq 2$

$(x-\dfrac{1}{3};y-\dfrac{1}{2};z-1)=(a,b,c)$

Ta có: $\sum \dfrac{1}{a+1} \geq 2$

$\rightarrow \dfrac{1}{a+1} \geq (1-\dfrac{1}{b+1})+(1-\dfrac{1}{c+1})=\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1} \geq 2\sqrt{\dfrac{bc}{(b+c)(c+a)}}$

Thiết lập các bất thức tương tự rồi nhân với nhau ta được:

$1 \geq 8abc$

$\rightarrow abc \leq \dfrac{1}{8}$

$\rightarrow (3x-1)(2y-1)(z-1) \leq \dfrac{3}{4}$

Dấu "=" $\iff x-\dfrac{1}{3}=y-\dfrac{1}{2}=z-1=\dfrac{1}{2}$