Cho $\alpha +\beta +\gamma =\pi$ Để:
$cos^{2}\alpha +cos^{2}\beta +cos^{2}\gamma = a + b.cos\alpha .cos\beta .cos\gamma$

Thì a= ?, b=?

bạn có thể làm như sau:
Ta có
$VT= cos^{2}\alpha +\frac{1+cos2\beta }{2}+\frac{1+cos2\gamma }{2}$
$= cos^{2}\alpha +1+cos(\beta +\gamma )cos(\beta -\gamma )$
$= 1- cos\alpha (cos(\beta +\gamma )+cos(\beta -\gamma ))$
$= 1- 2cos\alpha. cos\beta. cos\gamma$
Vậy $a=1$,$b=-2$

Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: ( Lấy trên Violympic)
a) $ sin ^{4} x + cos^{4} x $;
b) $ sin ^{6} x + cos^{6} x $;

Đặt $sin^{2}x =a, cos^{2}x=b \Rightarrow a,b\geq 0$ và $a+b=1$
a) khi đó : $sin^{4}x +cos^{4}x=a^{2}+b^{2}$
Mà
$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab = 1-2ab\geq 1-\frac{(a+b)^{2}}{2}= \frac{1}{2}$
vậy $min= \frac{1}{2}$
b)khi đó : $sin^{6}x+cos^{6}x=a^{3}+b^{3}$
mà $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)= 1-3ab\geqslant 1-3\frac{(a+b)^{2}}{4}= \frac{1}{4}$

vậy $min= \frac{1}{4}$

Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2=8\\ xy+yz+zx=4\end{matrix}\right.$
Chứng minh $|x|, |y|, |z| \leq \frac{8}{3}$

cách này có vẻ dài, bạn tham khảo xem :
$PT(1)\Leftrightarrow (x+y+z)^{2}-2(xy+yz+zx)=8$
kết hợp với PT(2) suy ra $x+y+z=\pm 4$
xét 2 trường hợp
$\left\{\begin{matrix} &x+y+z=4 \\ &x^{2}+y^{2}+z^{2}=8 \end{matrix}\right.$
và
$\left\{\begin{matrix} &x+y+z=-4 \\ &x^{2}+y^{2}+z^{2}=8 \end{matrix}\right.$
với mỗi trường hợp ta giải bằng cách coi 2 điều kiện như HPT đối với x,y còn z là tham số và tìm điều kiện của z để hệ có nghiệm

Bertrand Russell từng viết rằng :" Toán học nắm giữ không chỉ sự thật mà cả vẻ đẹp tối thượng ,một vẻ đẹp lạnh lùng và mộc mạc như của một tác phẩm điêu khắc, tinh khiết và hoàn hảo tuyệt vời, chỉ có ở nghệ thuật vĩ đại nhất ".
bạn thử tham khảo ở đây xem http://forum.doremiv...n-s%E1%BB%91!!!

Bài 2:Cho đa thức bậc f(x) thỏa mãn $f(x)-f(x-1)=x$ Với
$\forall x \epsilon R$
Từ dãy trên suy ra công thức tinh tổng 1+2+3+...+n

vì $f(x)-f(x-1)=x$ nên f(x) ít nhất phải là đa thức bậc 2
không mất tính tổng quát, giả sử $f(x)=ax^{2},a\neq 0$
từ GT ta có
$ax^{2}-a(x-1)^{2}=x$
$\Rightarrow a= \frac{x+1}{2x}\Rightarrow f(x)= \frac{x^{2}+x}{2}$
lại có :
$1=f(1)-f(0)$
$2=f(2)-f(1)$
.....
$n=f(n)-f(n-1)$
cộng vế vói vế, ta có :
$1+2+...+n= f(n)-f(0)=\frac{n^{2}+n}{2}= \frac{n(n+1)}{2}$

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), có ba cạnh AB, AC, BC lần lượt bằng 5; 12; 13. Khoảng cách từ O đến dây AB bằng?

Tam giác ABC vuông ở A, dễ dàng tính dc khoảng cách từ O đến dây AB mà bạn (=$\frac{1}{2}$AC)

B3:
Khi khai triển và ước lượng số hạng đồng dạng của P(x)=$(1-x+x^{2}-x^{3}+...-x^{1999}+x^{2000})(1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{1999}+x^{2000})$ ta có thể viết P(x) dưới dạng
P(x)= $a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+...+a_{4000}x^{4000}$
Tính $a_{2004} , a_{2005}$

đặt$ f(x)= 1-x+x^{2}-x^{3}+...-x^{1999}+x^{2000}$
$g(x)=1+x+x^{2}+x^{3}+...+x^{1999}+x^{2000}$
Để có $x^{2005}$ của P(x) thì một hạng tử $x^{k}, (o\leq k\leq 2000)$ của f(x) phải nhân với hạng tử $x^{n}, (0\leq n\leq 2000)$ của g(x) sao cho
$n+k=2005$
suy ra
- nếu $k=0$ thì $n=2005$( loại, vì $n\leq 2000$)
-nếu $k=1$ thì $n=2004$(loại)
...
-nếu $k=5$ thì $n=2000$(thỏa mãn)
-nếu $k=6$ thì $n=1999$
-nếu $k=7 $thì $n=1998$
........................................
-nếu $k=2000$ thì n=5$
vậy
$a_{2004}.x^{2004}=(x^{4}x^{2000}-x^{5}x^{1999}+x^{6}x^{1998}-...)$
$a_{2004}.x^{2004}=(1-1+1-...)$
Trong dãy số 5,6,...1999,2000 có số các số lẻ = số các số chẵn.
Các hạng tử với số mũ lẻ của f(x) có hệ số$= -1$
Các hạng tử với số mũ chẵn có hệ số $=1$
Nên $a_{2005}.x^{2005}=0$
$\Rightarrow a_{2005}=0$

$Cho tam thức f(x)=x^2+bx+c biết \left | f(x)) \right | \leq \frac{1}{2} với \forall x\in [-1;1].Tìm b,c $

Vì
$\left | f(x) \right |\leq \frac{1}{2},\forall x\in \left [ -1;1 \right ]$
do đó
$\left | f(-1) \right |=\left | 1-b+c \right |\leq \frac{1}{2}$
$\left | f(0) \right |=\left | c \right |\leq \frac{1}{2}$
$\left | f(1) \right |=\left | 1+b+c \right |\leq \frac{1}{2}$
nên
$2= \left | 1-b+c+1+b+c-2c \right |\leq \left | 1-b+c \right |+\left | 1+b+c \right |+\left | -2c \right |\leq 2$
$\Rightarrow b=0, c=\frac{-1}{2}$

Bài1 Cho dãy số $(u_{n})$ với
$u_{n}= sin(2010-sin(2010-sin(2010-...-sin(2010-sin2010)...)))$
Tìm $n_{0}$ để $\forall n\geq n_{0}$, $u_{n}$ có 4 chữa số phần thập phân ngay sau dấu phẩy không đổi. Tính $u_{2009}$

Thanhks !bạn ơi xem lại phải là c=-1/2 mới đúng chứ nhỉ?

thank bạn, mình nhầm

Thường thì ta giải bất phương trình dạng $\sqrt {f(x)} \geq g(x) $ như sau:
$\sqrt {f(x)} \geq g(x) \Leftrightarrow (f(x) \geq 0$ và $g(x)<0)$ hoặc $(f(x) \geq g(x)^{2}$ và $ g(x) \geq 0) $
Theo mình thì có thể bỏ $g(x)<0$ ở dòng trên. Xin được lấy ý kiến mọi người

Không nên bỏ đi bạn ạ, vì sẽ dẫn đến thiếu nghiệm
ví dụ ta xét BPT :
$\sqrt{x^{2}-x-12}\geq x-1$
ĐKXĐ: $x\geq 4$ hoặc ,$x\leq -3$
khi đó nếu chỉ xét
$\left\{\begin{matrix} &x^{2}-x-12\geq (x-1)^{2} \\ & x-1\geq 0 \end{matrix}\right.$
thì ta chỉ nhận được nghiệm $x\geq 13$
mà không xét thêm $x-1< 0$ thì sẽ thiếu nghiệm $x\leq -3$

Bài 2
tìm nghiệm gần đúng của PT :
a) $4^{x} =5sinx +3x$
b) $cosx=logx$
c)$(3+2\sqrt{2})^{x}=(\sqrt{2}-1)^{x}+3$
d)$\left\{\begin{matrix} & e^{x^{3}+x^{2}+x+1}+ln\frac{x}{y}=e^{y^{5}+y^{2}+y+1}\\ & 64x^{6}-96y^{4}+36x^{2}-3=0 \end{matrix}\right.$
p/s: các bạn ghi sơ qua thao tác ấn phím nha , vì đây là casio mà

mình chỉ bỏ g(x) < 0 thôi, nghiệm của mình không bị thiếu

Nếu bạn bỏ $g(x)<0$ thì sao không bỏ luôn $f(x)\geq 0$đi
vì khi xét $g(x)\geq 0, f(x)=g^{2}(x)$ thì hiển nhiên $f(x)\geq 0$ rồi,
Giờ thì bạn còn nói không thiếu nghiệm không @@

mọi người cho em hỏi, ví dụ: 123456789012013131.10 ,ngoài phương pháp giải cổ điển (tách số đó ra,tính trên giấy,hơi mất thời gian) thì còn phương pháp trực tiếp nào có thể tính ngay trên máy tính được không (hiện em đang gặp khó khăn về vấn đề này)....

Cái ví dụ của bạn "đặc biệt " nhỉ Thêm $0$ ngay vào sau là được mà
Ví dụ như $8567899. 654787$
Ấn = ta thấy kết quả $5,610148883. 10^{12}$
như vậy
Kết quả có 13 chữ số, hơn nữa chữ số 3 cuối chưa hẳn đã chính xác
Ta xóa bớt số 8 ở thừa số thứ nhất và số 6 ở thừa số thứ hai và nhân lại
$567899. 54787=3,111348251. 10^{10}$
Ta tạm đọc kết quả là:
$5,61014888251. 10^{10}$
Ta tiếp tục xóa số 5 ở thừa số thứ nhất và nhân lại:
$67899. 54787=3719982513$
Kết quả:
$8567899. 654787=5610148882513$
p/s:Khi dùng cách này bạn cẩn thận xem chữ số bị xóa có ở hàng gây ảnh hưởng đến các chữ số cuối cần tìm trong kết quả không, nhất là chữ số bị xóa là các chữ số 0
nếu chưa thành thạo thì tốt nhất là dùng cách bạn vẫn làm cho chắc

Mình chưa hiểu ý bạn lắm

Theo mình thì có thể bỏ luôn g(x) < 0 ở dòng dưới

Nếu bạn bỏ $g(x)<0$ thì sao không bỏ luôn $f(x)\geq 0$ đi vì từ hệ $\left\{\begin{matrix} & g(x)\geq 0\\ & f(x)=g^{2}(x) \end{matrix}\right.$
ta cũng có thể suy ra $f(x)\geq 0$ được mà

Bài 3 :
tìm gần đúng nghiệm( độ phút giây ) của PT:
$cos4x+cos3x+23cos^{3}x-79cos^{2}x+23cosx+20$
Bài 4 :
GPT
$x^{2}-2010\left [x \right ]+2011=0$
p/s: đề 2010-2011

Vì chỉ tìm thêm 2 số nên ta cũng có thể "mò" kiểu này :
$6+6.3=24$
$24+6.6=60$
$60+6.10=120$
$120+6.15=210$
chú ý là dãy 3,6,10,15,...có quy luật
nên 2 số tiếp theo là
$210+6.21=336$
$336+6.28=504$

Bài 4 :
GPT
$x^{2}-2010\left [x \right ]+2011=0$

Không có ai chém à
mình làm bài 4 trước vậy
đặt$\left [ x \right ]=k$
ta có $k=\frac{x^{2}+2011}{2010}> 1$, suy ra $k\epsilon Z, k> 1$
Do $k< x< k+1$
$\Rightarrow k^{2}+2011< x^{2}+2011< (k+1)^{2}+2011$
$\Leftrightarrow k^{2}+2011< 2010k< (k+1)^{2}+2011$
$\left\{\begin{matrix} & k^{2}-2010k+2011< 0\\ & k^{2}-2008k+2012> 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & 1\leq k\leq 2008\\ &k< 1,k> 2006 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow 2006< k\leq 2008$
$\Rightarrow k=2007$, hoặc $k=2008$
$\Rightarrow x\approx \pm 2007,9988$, hoặc $x\approx \pm 2008,4992$

Lang thang trên mạng thấy có câu đố hay
Mọi người tham quan rồi trả lời xem:
Có con cọp cắn con cọp con, con của con cọp cạnh con cọp cha của con con cọp có con cắn con cọp con của con con cọp cạnh con cọp cha con cọp cắn con cọp con con của con cọp cạnh con cọp cha của con con cọp có con cắn con cọp con của con con cọp cạnh con cọp con cọp cắn con cọp con, con của con cọp cạnh con cọp cha của con con cọp có con cắn con cọp con của con con cọp cạnh con cọp cha con cọp cắn con cọp con con của con cọp cạnh con cọp cha của con con cọp có con cắn con cọp con của con con cọp cạnh .....

Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số sao cho chữ số đó khác nhau và co 3 chữ số chẵn, 3 chữ số lẻ

Gọi số cần tìm là ABCDEF. $A\neq 0$
Xét 2 trường hợp:
- A chẵn :
4 cách chọn A ( gồm 2,4,6,8), 3 cách chọn chữ số chẵn thứ hai, 2 cách chữ chọn số chẵn thứ ba
5 cách chọn chữ số lẻ thứ nhất, 4 cách chọn chữ số lẻ thứ hai, 3 cách chọn chữ số lẻ thứ ba
nên theo quy tắc nhân có:
$4.3.2.5.4.3=1440$ ( số)
-A lẻ :
5 cách chọn A (gồm 1,3,5,7,9), 4 cách chọn chữ số lẻ thứ hai, 3 cách chọn chữ số lẻ thứ ba
5 cách chọn chữ số chẵn thứ nhất, 4 cách chọn chữ số chẵn thứ hai, 3 cách chọn chữ số chẵn thứ ba
nên theo quy tắc nhân có :
$5.4.3.5.4.3=3600$ (số)
vậy có tất cả : $ 1440+3600=5040$ số thỏa mãn đề bài
p/s: bạn nên đặt lại tiêu đề nếu không sẽ bị xóa đấy
http://diendantoanho...showtopic=65669

Cho hình thang cân $ABCD$ có $AD // BM$. Đường cao $BE$ cắt đường chéo $AC$ tại $F$. $AB \cap CD = M$. Tính $BM$ biết $AB = 20cm$ và $\frac{AF}{FC}=\frac{2}{3}$

mình nghĩ phải $AD//BC$ chứ nhỉ

mình nghĩ phải $AD//BC$ chứ nhỉ

ừ mình sửa lại rồi !

1/$\widehat{xOy}$ nhọn chứa A.Tìm trên Ox và Oy 2 điểm B,C sao cho chu vi $\Delta$ ABC đạt min

Đây là một bài cơ bản trong bài toán cực trị THCS,
mình nói hướng thôi, bạn tham khảo nhé
gọi B',C' lần lượt là điểm đối xứng của A qua Ox,Oy.
gọi B,C là giao điểm B'C' với Ox, Oy. ta có 2 điểm cần tìm
sau đó bạn chứng minh với điểm B'',C" bất kì thuộc Ox,Oy thì
$AB+AC+BC\leq AB''+AC''+B''C''$

$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+.........}}}}$

Đặt
$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+.........}}}}=x $ ,$x> 0$
Khi đó, ta có
$\sqrt{6+x}=x$
$\Rightarrow x=3$

$cho tam giác ABC cân tại A, có \wedge BAC=45^{0} và AB=a. Tính BC?$

Bạn tự vẽ hình nha
Kẻ BH vuông góc với AC, suy ra tam giác ABH vuông cân tại H nên
$AH=BH=\frac{\sqrt{2}}{2}a$
Lại có
$HC=AC-AH=a-\frac{\sqrt{2}}{2}a$
Từ đó tính được BC theo pi-ta-go trong tam giác BHC.
HẾT.^^

2. Cho A,B,C,D theo thứ tự cùng nằm trên một đường tròn. Giả sử góc tạo bởi tiếp tuyến tại B và AB là $30^{o}$, góc tạo bởi tiếp tuyến tại C và CD là $ 10^{o}$, đường thảng AB song song với CD và hai đường thẳng này nằm ở hai bên của tâm đường tròn . Tìm góc BDC.
3. Cho $1\leq a,b,c,d,e,f,g,h,i\leq 9 $ là các số nguyên khác nhau.Kí hiệu N là GTLN của $a\times b\times c, d\times e\times f, g\times h\times i$. Tìm GTNN (có thể có) của N.
4. Cho A là số nguyên dương. Biết A là bội của 3 nhưng không phải là bội của 9 và Nếu cộng tích các chữ số của A với A thì được 1 số chia hết cho 9.Tìm GTNN của A .
5. Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn tích tất cả các ước của n là $24^{240}$
7. Cho $\triangle ABC $ nội tiếp (O). Trên AB, AC lấy tương ứng hai điểm D, E sao cho $ AD=8$, $BD=3$, Gọi O là trung điểm DE. Biết $ AO=7$
Tính CE .
p/s: mình dịch thử, nếu có gì sai sót mong các bạn lượng thứ