Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^2(x-y)=5(y-1)$

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ .$D$ là điểm thuộc cạnh $AC$ thỏa mãn $CD=2AD$. $E$ là điểm thuộc đoạn thẳng $BD$ thỏa mãn $\widehat{DEF}=\widehat{ABC}$. Gọi $F$ là điểm đối xứng của $C$ qua $A$.Chứng minh rằng $\widehat{DEF}=2\widehat{ABC}$

1) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Trên các cạnh $AB$, $AC$, $BC$ dựng các hình vuông $ABED$, $ACPQ$, $BCMN$. Đường cao $AH$ thuộc cạnh huyền của tam giác vuông $ABC$ cắt $MN$ tại $F$.
a) Chứng minh rằng: Diện tích của $BHFN$ bằng diện tích của $ABED$ từ đó suy ra $AB^2=BC.BH$.
b) Chứng minh rằng: Diện tích của $HCMF$ bằng diện tích $ACPQ$ từ đó suy ra $AC^2=BC.HC$.
2) Cho hình thang $ABCD$, $BC//AD$. Các đường chéo cắt nhau tại $O$. Chứng minh rằng: Diện tích của $OAB$ bằng diện tích $OCD$ từ đó suy ra $OA.OB=OC.OD$.
3)Chứng minh rằng 3 đường trung tuyến của một tam giác chia tam giác đó thành 6 phần bằng nhau

Thử cái nào

??? Đê bài yêu cầu là chứng minh điều đó rồi mới suy ra mà

Sao phải máy móc thế bạn ?
Bài 2:
Ta có $\sin AOB = \sin DOC$
Mặt khác, theo thales $\frac{OA}{OC} = \frac{OD}{OB}$
$\Rightarrow OA.OB = OC.OD$
Vậy $S_{AOB} = S_{DOC}$

Mình mới lớp 8 hà nên không hiểu bạn ơi
Còn bài hai thì mình làm được rồi nhưng chỗ suy ra thì không biết!Mấy bạn giúp mình nha

Bài 3:

Là bài toán đảo của bài toán này
Ta quy về chứng minh $S_{AGB} = S_{AGC} = S_{BGC}$
Kẻ hình phụ như bài trên rồi chứng minh $\triangle AMD = \triangle CND$

Cám ơn bạn nhá

Cho hình bình hành $ABCD$,trên tia đối của tia $BA$ lấy điểm $E$,trên ta đối của tia $DA$ lấy điểm $K$.Đường thẳng $ED$ cắt $BK$ tại $O$.Chứng minh rằng diện tích tứ giác $ABOD$ và $CEOK$ bằng nhau.

Giải phương trình(Kiểu phương trình đẳng cấp )
$5(\dfrac{x-2}{x+1})^2-44(\dfrac{x+2}{x-1})^2+12\dfrac{x^2-4}{x^2-1}=0$

Chứng minh rằng với mọi $a,b,c,d$ thì ta có:
$a^2+b^4+c^8 \geqslant ab^2+b^2c^4+c^4a$
$a+b^2+c^4+d^8 \geqslant \sqrt{a}(b+c^2+d^4+1)$
Tìm các số nguyên thỏa mãn :$a^2+b^2+c^2 \leqslant ab+3b+2c-4$
Cho các số thực dương $a.b.c$ thỏa mãn $abc=ab+bc+ca$,thì:
$frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3b+b+2c} \leqslant \frac{3}{16}$
Cho các số $a,b,c \geq 1$.Chứng minh rằng :$\frac{a}{\sqrt{b}-1}+\frac{b}{\sqrt{c}-1}+\frac{c}{\sqrt{a}-1} \geqslant12$
Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1$.Chứng minh rằng:
$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy} \geqslant 1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$

1, a,Áp dụng BĐT AM-GM cho lần lượt các tổng ($a^{2},b^{4}$)$\left ( a^{2}+b^{4};b^{4}+c^8;c^{8}+a^{2} \right )$ suy ra điều phải cm.
b,Tương tự .
2, Có $\left ( a^{2}+\frac{b^{2}}{4} \right )+\left (\frac{3b^{2}}{4}+3 \right )+\left ( c^{2}+1 \right )\geq ab+3b+2c$
Suy ra $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+3b+2c-4$
Mà theo đề bài có :$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq ab+3b+2c-4$
Suy ra $(a,b,c)=(1;2;1)$
3,Sử dụng BĐT : $a_{1}+a_{2}+..+a_{n}\geq\frac{n^{2}}{\frac{1}{a_{1}}+...+\frac{1}{a_{n}}}$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=3$
4,Áp dụng BĐT AM-GM thông thường. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=4.

Cám ơn bạn nhá.Có bạn nào giải rõ ra cho mình không.Có vài cái không hiểu

Cho tam giác $ABC$ gọi $h_a ; h_b ; h_c$ lần lượt là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A,B,C và $(\dfrac{h_a}{h_b})^{2}+(\dfrac{h_a}{h_c})^{2}=1$.Chứng minh rằng tam giác $ABC$ là tam giác vuông.
Cho điểm O thuộc miền trong tam giac ABC.Các tia AO,BO,CO cắt các cạnh tam giác ABC theo thứ tự $A',B',C'$.Chứng minh rằng:
a)$\dfrac{OA'}{AA'}+\dfrac{OB'}{BB'}+\dfrac{OC'}{CC'}=1$
b)$\dfrac{OA}{AA'}+\dfrac{OB}{BB'}+\dfrac{OC}{CC'}=2$

Chứng minh các bất đẳng thức sau đây
a) $\sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{2ab-b^2}>a$ với mọi $a>b>0$
b)$4a(a+b)(a+1)(a+b+1)+b^2 \geqslant 0$
c)$\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}<1$

1)Tính các cạnh của tam giác có ba đường cao bằng 12cm,15cm,20cm
2)Cho điểm O thuộc miền trong tam giác ABC.Các tia OA,BO,CO cắt các cạnh tam giác ABC theo thứ tự ở A',B',C',Chứng minh $\dfrac{OA'}{AA'}+\dfrac{OB'}{BB'}+\dfrac{OC'}{CC'}$

Gọi các cạnh của tam giác là a,b,c các đường cao tương ứng là $h_a;h_b;h_c$
Em đã có cách làm từ nguồn tham khảo.Trong mỗi tam giác thì
$a:b:c=\dfrac{1}{h_a}:\dfrac{1}{h_b}:\dfrac{1}{h_c}$
Suy ra :$a:b:c=\dfrac{1}{15}:\dfrac{1}{20}:\dfrac{1}{12}$=4:3:5
Suy ra a=20;b=15;c=25
Chỗ dòng màu đỏ là em không hiều.Hai hiểu chị em với ạ

Đây là bài tập áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau thôi mà em .

Làm giùm em luôn đy anh mặc giù em vẫn chưa hiểu chỗ đó

1)Tìm GTNN của $A=x^2+26y^2-10xy+14x-76y+59$
2)Tìm x để $P=\dfrac{4x^4+16x^3+56x^2+80x+356}{x^2+2x+5}$ đạt GTNN
3)Tìm GTNN của các biểu thức sau:
$A=x^2+2y^2+2xy-2y$
$B=4x^2+5y^2-4xy-16y+22$
$C=x^2+5y^2+5z^2-4xy-4yz-4z+12$
$D=5x^2+9y^2-12xy+24x-48y+82$
4)Cho $xy+yz+xz=1$.Tìm GTNN $M=x^4+y^4+z^4$

1)Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=120^{0}$dựng tam giác đều BCD.Chứng minh:
a)AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$
b)$AD=AB+AC$

a) Tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp ($\widehat{A}+\widehat{BDC}=180$)=>
$\widehat{BAD}=\widehat{BCD}= 60^{\circ}\\ \widehat{DAC}=\widehat{DBC}=60^{\circ} =>\widehat{BAD}=\widehat{DAC}=> Q.E.D$
B, áP định lý Ptô-lê-mê cho tứ giác ABDC nội tiếp :
$AD.BC= AB.CD+AC.BD<=> AD.BC= BC(AB+AC)<=> AD=AB+AC => Q.E.D$

Lớp 7 bạn ơi

Trong cấp THCS,đặc biệt là lớp 8.Những bạn học sinh khá giỏi chắc ai củng biết về hai bài này:
1)Phân tích đa thức thành nhân tử $(x-y)^3+(z-x)^3+(y-z)^3$
2)Cho $a+b+c=0$.Chứng minh rằng $a^3+b^3+c^3=3abc$
Hai bài toán trên dễ dàng chứng minh nhưng đặc biệt là bài 1.Hầu như trong sách nâng cao thì đề biến nó về một lập phương rồi bớt cái gì đó.Cách làm đó đã tạo cho học sinh một cách rất khó chịu.Nhưng dễ thấy rằng $x-y+z-x+y-z=0$Vậy sao chúng ta không đặt $x-y=a$ $z-x=b$ $y-z=c$Vậy thì dể dàng chứng ta có $a^3+b^3+c^3=3abc$ Thế vào là xong.Không mất công như cách phân tích cũ.

Cách khác nhá bạn:
$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 \ge a(b+c+d+e)$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-ab-ac-ad-ae\ge0$
$\Leftrightarrow 4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2-4ab-4ac-4ad-4ae\ge0$
$\Leftrightarrow (a^2-4ab+4b^2)+(a^2-4ac+4c^2).....\ge0$
$\Leftrightarrow (a-2b)^2+(a-2c)^2...\ge0$

1/Tìm các số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2 số 2n+1 va 3n+1 đồng thời là 2 số chính phương
2/CMR:Tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương
3/Có hay không các chữ số a,b,c sao cho $\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}$ là số chính phương?

1)Ta có $10\ge n \ge 99$ suy ra $21 \ge 2n+1 \ge 199$
Bây giờ mình sẽ tìm trong tập hợp đó những số chính phương chia cho 2 dư 1
Tương tự như vậy với 3n+1 vậy là chúng ta xét và lọc từ hai cái đó ra thì ra n=40
2)$(a-2)^2+(a-1)^2+a^2+(a+1)^2+(a+2)^2$
$=5a^2+10=5(a^2+2)$
Dễ thấy nó chia hết cho 5.Mà nó là scp nên nó chia hết cho 25
Suy ra $a^2+2 \vdots 5$ (chỗ này bạn dùng số đuội của scp nhá.Không xảy ra số đuội là 0 hoặc 5 nên nó không chia hết cho 5)

Chứng minh rằng $2^p$ với $p >3$ thì $2^p$ chia 3 dư 2

Cho tam giác $ABC$ có $BC=a$,$AC=b$,$AB=c$.Các tia phân giác $BE$ và $CF$ và chúng cắt nhau tại $O$.Chứng minh rằng
1)$\dfrac{BO}{OE}=\dfrac{a+c}{b}$
2)$\dfrac{BO}{BE}=\dfrac{a+c}{a+b+c}$

Cho hình thang cân $ABCD$ có (AD//BC).Gọi $M,N$ là trung điểm của $BC$ và $AD$.Trên tia đối của tia $AB$ bất kì.$PN$ cắt $BD$ tại $Q$.Chứng minh $MN$ là tia phân giác của $\widehat{PMQ}$

Tất cả các biến đều dương
1)Chứng minh
$\dfrac{2x}{x^6+y^4}+\dfrac{2y}{y^6+z^4}+\dfrac{2z}{z^6+x^4} \le \dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1}{y^4}+\dfrac{1}{z^4}$
2)Tìm $maxM$,$M=\dfrac{xyz}{(x+2y)(y+2z)(z+2x)}$
3)Cho x+y=1.Chứng minh $(1-\dfrac{1}{x^2})(1-\dfrac{1}{y^2}) \ge 9$