Giả sử hàm f thỏa mãn đề bài
Giả sử tồn tại $y_{1},y_{2}$ để $f(y_{1})=f(y_{2}) -> f(x-f(y_{1}))=f(x-f(y_{2})) -> f(x)-y_{1}=f(x)-y_{2} -> y_{1}=y_{2}$
Do đó f đơn ánh
Thay y bởi 0 ta có: $f(x+f(0))=f(x) -> f(0)=0$
Thay x bởi 0 ta có: $f(f(y))=-y$
từ đây $=> f(x+f(y))=f(x)+f(f(y)) -> f(x+y)=f(x)+f(y)$
(bài toán quen thuộc) nên có f(x)=ax với a là hằng số
$=> a(ay+x)=ax-y -> a^{2}=-1$ (vô lý)
vậy k tồn tại hàm số f