Bài viết giới thiệu về lý thuyết đơn hình (simplicial theory), một lý thuyết "tổ hợp" của tôpô đại số. Kí hiệu $\mathbf{Top},\mathbf{Sets},\mathbf{Ab}$ lần lượt là phạm trù các không gian tôpô, phạm trù các tâp hợp, phạm trù các nhóm abel. Giới thiệuH. Poincaré lần đầu định nghĩa đồng điều theo nghĩa tam giác phân một không gian và thực hiện các tính toán tổ hợp với định nghĩa này. Tuy nhiên cách định nghĩa này không hiệu quả ở điểm nó cần chứng minh các cách tam giác phân đều cho ta một nhóm đồng điều. Tiếp đó, không phải mọi không gian đều có thể tam giác phân. Sau này, các định nghĩa trừu tượng cho phép ta hiểu một tam giác là một ánh xạ liên tục $\left |\Delta^n \right| \to X$, trong đó $\left |\Delta^n \right|^n$ định nghĩa bởi\begin{equation} \left|\Delta^n \right|=\left \{ (x_0,...,x_n) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid x_i \in [0,1], x_0 + \cdots + x_n = 1 \right \}.\end{equation}Các ánh xạ này cho ta một họ \begin{equation} \mathrm{Sing}(X)_n = \left \{ \sigma: \left|\Delta^n \right| \to X \mid \sigma \ \text{liên tục} \ \right\}. \end{equation} Tuy nhiên các tập $\mathrm{Sing}(X)_n$ không đứng riêng lẻ do bản thân các đơn hình hình học $\left|\Delta^n \right|$ có liên hệ với nhau, ví dụ một tam giác sẽ có ba đỉnh. Ngoài ra, do tính affine ta hoàn toàn có thể đồng nhất các đơn hình hình học với các đỉnh của nó. Ví dụ $\left|\Delta^n \right|$ có $(n+1)$-đỉnh $v_0,...,v_n$ ($v_i$ có tất cả các vị trí là $0$ ngoài $1$ ở vị trí $i$) có thể đồng nhất với tập $\left \{0,1...

Khái niệm bó (sheaf) thể hiện một ý tưởng cơ bản: để hiểu một không gian hình học, ta có thể nghiên cứu các hàm trên không gian đó. Bó vốn có nguồn gốc từ Tô pô đại số và hình học vi phân (Leray đã xây dựng nó để chứng minh các định lý điểm bất động trong PDE). Sau này, người ta sử dụng bó một cách có hệ thống trong hình học đại số hiện đại. 1. "Hàm" và "điểm" Trước khi đến với nội dung chính, ta bắt đầu một phiên bản baby của định lý biểu diễn Gelfand-Naimark. Nếu $A$ là một vành (giao hoán và có đơn vị), ta ký hiệu $\text{Spm}(A)$ là phổ cực đại của $A$, tức là tập hợp tất cả các ideal cực đại của $A$. Trên tập hợp này có một tô-pô được gọi là tô-pô Zariski, trong đó các tập đóng là các tập hợp $$V(I):=\{\mathfrak{m} \in \text{Spm}(A): I \subseteq \mathfrak{m}\},$$ trong đó $I$ là một ideal nào đó của $A$. Thật vậy, $\varnothing = V((1))$, $\text{Spm}(A) = V((0))$, $V(I) \cup V(J) = V(IJ)$ và $\bigcap_i V(I_i) = V\left(\sum_i I_i\right)$. Tô-pô này sinh bởi các tập mở có dạng $$D(f):=\{\mathfrak{m} \in \text{Spm}(A): f \notin \mathfrak{m}\},$$ với $f \in A$, được gọi là các tập mở chính. Như vậy, ta có thể coi các phần tử của $A$ như các hàm trên không gian tô-pô $\text{Spm}(A)$. Các ideal cực đại của $A$ chính là các điểm. Việc tính giá trị của một hàm $f$ tại một điểm $\mathfrak{m}$ chính là việc tính $f \mod \mathfrak{m}$, đó là một phần tử của trường thặng dư $A / \mathfrak{m}$. Như vậy, hàm $f$ nhận giá trị trong một trường biến thiên theo từng đ...

Câu chuyện về "các giả thuyết Weil" là một ví dụ tuyệt vời của toán học, và là một trong các ví dụ kinh điển thể hiện sự thống nhất của toán học. Ý tưởng cốt lõi cho chứng minh của nó đến từ sáu người: E. Artin, F. K. Schmidt, H. Hasse, A. Weil, A. Grothendieck và P. Deligne, trong khoảng năm mươi năm $(1923-1973)$. I. Số nghiệm của phương trình đồng dư Như mọi vấn đề trong lý thuyết số, câu chuyện bắt đầu từ Gauss. Trong công trình về luật thuận nghịch bình phương của mình, Gauss đưa ra công thức tổng Gauss $\sum_{s=0}^p \mathrm{exp}\left({\frac{2\pi i x^2}{p}}\right)$ với $p$ nguyên tố; để tính các tổng này, bằng một số lập luận sơ cấp, ông suy ra cần tính số nghiệm của các phương trình đồng dư$$(1) \ \ \ ax^3 - by^3 \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ p), \ ax^4 - by^4 \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ p), \ y^2 \equiv ax^4 - 1 \ (\mathrm{mod} \ p),$$trong đó $a,b$ là các số nguyên cố định không chia hết cho $p$, nghiệm $(x,y)$ được xét theo đồng như modulo $p$, như vậy thực chất ta đi đếm số nghiệm trong $\mathbb{F}_p$ - trường $p$ phần tử; chúng ta đi tìm một biểu diễn asymptotic (dưới dạng một hàm đơn giản của $p$) với $p$ chạy trên một tập vô hạn các số nguyên tố. Một thời gian ngắn sau, Jacobi nhận xét rằng, ngược lại, bằng các tính chất cơ bản của tổng Gauss, ta có thể thu được một đánh giá tốt về số nghiệm trong các trường hợp tổng quát hơn, ở đó các phương pháp sơ cấp khó khả thi. Jacobi sau này gần như không có nhiều tiến triển trong vấn đề này cho tới khi Hardy và L...

Đây là bài viết đầu tiên của mình về topo đại số trên diễn đàn, và sẽ là topic mình sẽ tổng hợp lại bài từ cái webinar nho nhỏ của tụi mình trong khoảng thời gian sắp tới. Bài đầu tiên sẽ do mình đăng, các bài sẽ chủ yếu dựa trên quyển Topo đại số của Rotman. Trước hết, mình sẽ trình bày về các khái niệm đồng luân, null- homotopic, contractible và topo thương. 1. Đồng luânĐịnh nghĩa 1.1. Xét \(X,Y\) là hai không gian topo và hai ánh xạ liên tục \(f, g: X\rightarrow Y\). Khi đó \(f\) gọi là đồng luân với \(g\) nếu như tồn tại một ánh xạ liên tục \(F: X\times I \rightarrow Y\) mà \(F(x,0) = f(x)\) và \(F(x,1) = g(x)\). Kí hiệu \(f\simeq g\).Nếu như \(f\) đồng luân với \(g\) thì có thể ví như có thể dời, làm biến dạng từ \(f\) được thành \(g\), và \(f_{t}(x)=F(x,t)\) miêu tả sự "biến dạng" tại thời điểm t.Ví dụ: Xét \(\gamma_{i}:I\rightarrow \mathbb{C}\) với \(i=0,1\) là hai hàm liên tục mà ảnh của chúng là hai đường cong trong mặt phẳng phức. Nếu ta xét \(F(x,t)=t\gamma_{1}(x)+(1-t)\gamma_{0}(x)\) thì dễ thấy \(\gamma_{0}\simeq \gamma_{1}.\) Bổ đề 1.2. Giả sử không gian X là hợp hữu hạn các tập đóng \(X_i\) và \(f_i\) là các ánh xạ liên tục từ \(X_i\) vào \(Y\) thỏa mãn \(f_i(X_i \cap X_j) = f_j(X_i \cap X_j)\) thì tồn tại duy nhất \(f: X \rightarrow Y\) liên tục mà \(f|X_i = f_i\).Chứng minhHiển nhiên từ X là hợp của các tập \(X_i\) và \(f_i(X_i \cap X_j) = f_j(X_i \cap X_j)\) ta thấy rằng ánh xạ f được xác định duy nhất.Giả sử C là một tập đóng của Y, khi đó:...

I/ LỜI NÓI ĐẦUCó lẽ bây giờ nhiều bạn học sinh lớp 8 đang sắp bước vào kì thi học sinh giỏi cấp huyện(như mình   ), bản thân mình cảm thấy Box Hình học THCS dạo gần đây có rất ít các Topic về các bài toán hình học lớp 8 khó. Vì những lý do đó, mình đã quyết định đăng nhưng bài tập (Mỗi ngày khoảng 5-10 bài) để các bạn cùng thảo luận, suy nghĩ và phát triển tư duy hình học làm bệ phóng để đạt những thành tích cao trong các kì thi. Tuy nhiên, việc đăng quá nhiều bài của mình cũng nhận được một ý kiến trái chiều rằng đăng như thế rất rời rạc, bản thân mình cũng thấy việc đăng như thế sẽ làm trôi câu hỏi của nhiều bạn nên hôm nay mình quyết định tạo một TOPIC về hình học lớp 8.~~~ Theo ý kiến riêng của mình thì phân môn Hình học THCS thì chỉ có lớp 8 và lớp 9 là có nhiều những bài toán hay và khó, còn lớp 6 thì chủ yếu là khởi động, tìm hiểu những cốt lõi cơ bản, lớp 7 thì chỉ dừng lại ở mức các tam giác bằng nhau và các đường đồng quy. Lớp 8 thì các bạn phải vận dụng cả về tam giác bằng nhau, tam giác đồng dạng, định lý Thales tạo ra các đoạn thẳng tỉ lệ, đôi khi còn phải động não sử dụng khéo léo phương pháp diện tích và đặc biệt là vẽ thêm hình phụ... và lớp 9 trở nên toàn diện khi được bổ sung những kiến thức khó về đường tròn. ~~~ Nói về các đề thi chọn học sinh giỏi thì như các bạn đã biết, thường thì sẽ có một câu hình gồm 3 mảng a), b), c) chiếm 30% số điểm (6/20). Trong 3 câu đó thì câu hình c) có thể là câu khó phải vận dụng việc vẽ thêm...

Trước đây ông thầy người Pháp hướng dẫn mình có chê toán olympic của Việt Nam không phải khoa học. Điều này có lẽ không phải bàn cãi, tức là toán phổ thông Việt Nam cũng nổi tiếng ở một nước tiên tiến về toán, theo nghĩa tiêu cực. Nhưng cần suy nghĩ điều này thấu đáo vì hiện giờ ở Việt Nam, toán olympic là loại toán hấp dẫn với học sinh phổ thông, nếu không dùng nó thì cái gì để thu hút các em làm toán học hoặc khoa học? Mặc dù nó không hiệu quả, ai học chuyên là rõ nhất. Để nhiều bằng chứng hơn, hãy so với Pháp: phong trào olympic nghèo nàn, đi thi imo thì lúc nào cũng xếp sau Việt Nam, nhưng số lượng sinh viên đăng ký học toán gấp nhiều lần so với Việt Nam, cả lý thuyết và ứng dụng. Ở đây mình không bàn về chất lượng, chỉ tập trung vào số lượng. Vì vậy, mình mở ra post này, để anh em trên diễn đàn có thể lạm bàn. Mình xin tóm tắt lại một số vấn đề, cũng như đưa ra một số câu hỏi (tất nhiên không giới hạn việc thảo luận trong những vấn đề này): 1) Toán olympic ngày càng chứng tỏ không giúp ích nhiều cho khoa học và toán học (ở đây không bàn chuyện toán olympic có giúp tìm ra nhân tài); 2) Tạm bỏ qua (không có nghĩa bỏ hẳn) các yếu tố liên quan đến văn hóa, kinh tế để bàn về toán ở phổ thông hay nghiên cứu, nếu không muốn việc thảo luận trở nên phức tạp hơn. Đặt câu hỏi: vậy nên học toán gì ở phổ thông nhằm thu hút các em làm khoa học và toán học? Một gợi ý là tham khảo chương trình toán phổ thông ở các nước khác. Nhưng khoan hãy nói toán phổ thông ở Pháp có ích cho kh...

Xin chào các bạn, mình là KietLW9, thực sự là mình mới tham gia diễn đàn được khoảng hơn 1 tháng và mình thấy rằng bất đẳng thức rất ít được quan tâm trong thời gian gần đây. Hôm nay, mình quyết định tạo một Topic về bất đẳng thức để các bạn cùng tham gia trả lời, thảo luận và có thêm nhiều kiến thức. Mình sẽ tổng hợp một số bài mà mình từng làm và mình cảm thấy hay nhất để đăng lên. Nếu có gì sai sót mong các bạn chỉ bảo. Cảm ơn các bạn đã ủng hộ TOPIC.Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $abc=\frac{2}{3}$. Chứng minh rằng: $\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\geqslant \frac{a+b+c}{a^3+b^3+c^3}$Bài 2: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn $ab+bc+ca\geqslant 0 $ và $(a^2+ab)(b^2+bc)(c^2+ca)>0$. Chứng minh rằng: $(a+b+c)(\frac{3a-b}{a^2+ab}+\frac{3b-c}{b^2+bc}+\frac{3c-a}{c^2+ca})\leqslant 9$Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2$. Chứng ming rằng: $\sum \frac{a+b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\leqslant 4(\sum \frac{(\sqrt{a}-1)^2}{\sqrt{b}})$Bài 4: Với các số thực dương a, b thay đổi. Chứng minh rằng: $(a+b)(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-ab+2a^2}})\leqslant 2\sqrt{2}$ (Chú ý: Bài 4 không được dùng tất cả các bất đẳng thức đã có như Cô-si, Cauchy-Schwarz, Cauchy-Schwarz dạng phân thức,...)Bài 5: Với a, b, c không âm. CMR: $25(a^2+b^2+c^2)+54abc+36\geqslant 6(a+b+c)+49(ab+bc+ca)$ Bài 6: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca...

Xin chào, mình là pcoVienam02. Như các bạn có thể thấy thì hiện tại trên Diễn đàn đang có nhiều TOPIC, nhưng mà nó có thể làm các bạn học hơi khô khan. Nên mình sẽ cải biến TOPIC thành một loại mới, chính là Marathon.Vậy Marathon là gì?Marathon (mình sẽ lấy format từ diễn đàn mình đang làm việc - AoPS), gồm 2 thể loại chính:+ Marathon loại 1 tức là người đăng chủ đề sẽ gửi bài toán đầu tiên (bài toán gốc). Người nào giải được bài toán gốc sẽ tiếp tục đưa ra câu hỏi thứ hai để những người giải được sau đó sẽ đưa ra câu hỏi tiếp theo, và cứ liên tục như thế.+ Marathon loại 2 là người đăng chủ đề sẽ là người chấm điểm, và có nhiệm vụ gửi các bài toán theo thứ tự (mỗi lần 1 bài), ai giải được sẽ được 1 điểm (người giải sớm nhất). Nếu ai giải sai mà có người chỉ được điểm sai sót trước khi người đăng đáp án bài đó nhận ra sẽ được 0,5đ. Sau một số hữu hạn bài (thường là 100-200 bài) thì ai có số điểm cao hơn thì sẽ chiến thắng. Thì loại 1 chỉ mang tính chất học hỏi và cũng có khá nhiều rủi ro vì nếu có người gửi bài quá khó thì Marathon coi như chấm dứt. Vì vậy dựa trên tình hình diễn đàn thì mình sẽ tổ chức Marathon loại 2 cho các bạn vì mục đích vừa học hỏi vừa có sự thi đua giữa các bạn của 3 miền Tổ Quốc. *Lưu ý: Thời hạn giải mỗi bài là 2 ngày. Để khai mạc kì Marathon phiên bản mới mình sẽ 'khui' bài tập đầu tiên (khá dễ):$\boxed{1}$ Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa$\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}=1$Chứng minh rằng:  $...

Đề thi Olympic 30/4 môn Toán khối 10 năm 2021Bài 1: Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác có chu vi là $2$. Chứng minh rằng:\[2\sqrt 2  + \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc}}{6} \le \sqrt {{a^2} + {b^2}}  + \sqrt {{b^2} + {c^2}}  + \sqrt {{c^2} + {a^2}}  < 2\sqrt 3 \]Bài 2: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn:\ Chứng minh rằng $x+y+z$ là số nguyên.Bài 3: Với mỗi số nguyên $n \ge 2$, xét một bảng gồm $(2n - 1) \times (2n-1)$ ô vuông. Người ta viết các số $-1, 0, 1$ vào mỗi ô vuông sao cho với mọi bảng con $2 \times 2$, ta luôn tìm được 3 ô sao cho tổng các số viết trên mỗi ô vuông này bằng $0$. Đặt $S_n$ là giá trị lớn nhất của tổng các số được viết trên bảng.(a) Chứng minh rằng $S_2=5$.(b) Chứng minh rằng $S_n = n^2+n-1$.Bài 4: (a) Chứng minh rằng tồn tại hai cặp số $(a,b)$ sao cho $a,b$ là những số nguyên dương thỏa mãn:$$a^2 + 3b^2 = 7^9$$(b) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho phương trình$$x^2 + y^2 + xy= 7^n$$có nghiệm trong tập các số nguyên không chia hết cho $7$.Bài 5: Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Tia $AO$ cắt $BC$ tại $L$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $BC$. Tiếp tuyến tại $A'$ của đường tròn ngoại tiếp $A'BC$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $D,E$.(a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $A'BD, A'CE, A'AL$ đồng quy tại một điểm khác $A'$.(b) Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác $ABC, JDE$ tiếp xúc nhau.

Ngày thi thứ nhất Thời gian: 270 phútBài 1 (7 điểm): Cho dãy số $\left ( a_n \right )$ được xác định bởi $a_1 =1$ và $\left\{\begin{matrix} a_{2n}=a_n \\ a_{2n+1} = a_n +1  \end{matrix}\right.$ với $n \geq 1$.a) Tìm tất cả $n$ sao cho $a_{kn}=a_n$ với mọi số nguyên dương $k \leq n$.b) Chứng minh rằng tồn tại vô số $m$ nguyên dương mà $a_{km} \geq a_m$ với mọi số $k$ nguyên dương. Bài 2 (7 điểm): Cho bảng ô vuông $2021 \times 2021$. Tìm giá trị lớn nhất của $k$ sao cho có thể đánh dấu được $k$ ô của bảng mà mỗi ô trong $k$ ô đó thì có chung đỉnh với tối đa 1 ô được đánh dấu. Bài 3 (7 điểm): Cho tam giác $ABC$ và điểm $N$ không trùng với các điểm $A,B,C$. Gọi $A_b$ là điểm đối xứng với $A$ qua đường thẳng $NB$, còn $B_a$ là điểm đối xứng với $B$ qua đường thẳng $NA$. Xác định tương tự với 2 cặp điểm còn lại là $B_c,C_b$ và $C_a,A_c$. Đường thẳng $m_a$ qua $N$ và vuông góc với $B_c C_b$. Xác định tương tự với $m_b, m_c$.a) Giả sử $N$ là trực tâm tam giác $ABC$, chứng minh rằng ba đường thẳng đối xứng với các đường $m_a, m_b, m_c$ lần lượt qua phân giác các góc $\widehat{BNC}, \widehat{CNA}, \widehat{ANB}$ thì trùng nhau.b) Giả sử $N$ là tâm đường tròn Euler của tam giác $ABC$, chứng minh rằng ba đường thẳng đối xứng với các đường $m_a, m_b, m_c$ lần lượt qua $BC,CA,AB$ thì đồng quy tại một điểm. Ngày thi thứ hai Thời gian: 270 phútBài 4 (7 điểm): Cho các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn$2 \left ( a^2 +b^2 + c^2 \right ) +3(ab+bc+ca)=5(a+b+...