Chủ đề này có 1 trả lời

[Bui Hoang An]

cho $x,y,z>0 thỏa mãn (x-1)(y-1)(z-1)=1$

Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= $\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}$

[Thanh Huynh]

đặt x-1=m; y-1=n; z-1=p => mnp=1

P=$\frac{1}{\left ( m+1 \right )^{4}}+\frac{1}{\left ( n+1 \right )^{4}}+\frac{1}{\left ( p+1 \right )^{4}}$ $\geq \frac{1}{3}\left [ {\frac{1}{\left ( m+1 \right )^2}}+ {\frac{1}{\left ( n+1 \right )^2}}+{\frac{1}{\left ( p+1 \right )^2}}\right ]^{2}$

đặt $m=\frac{bc}{a^{2}}; n=\frac{ca}{b^{2}};p=\frac{ab}{c^{2}}$

ta có $\frac{1}{\left ( m+1 \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( n+1 \right )^{2}}+\frac{1}{\left ( p+1 \right )^{2}}$

$=\frac{a^{4}}{\left ( a^{2} +bc\right )^{2}}+\frac{b^{4}}{\left ( b^{2} +ac\right )^{2}}+\frac{c^{4}}{\left ( c^{2} +ab\right )^{2}}$

$\geq \frac{a^{4}}{\left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( a^{2}+c^{2} \right )}+\frac{b^{4}}{\left ( b^{2}+c^{2} \right )\left ( a^{2}+b^{2} \right )}+\frac{c^{4}}{\left ( a^{2}+c^{2} \right )\left ( b^{2}+c^{2} \right )}$

$\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{\left (a^{2}+b^{2} \right )\left ( a^{2}+c^{2} \right )+\left ( b^{2}+c^{2} \right )\left ( a^{2}+b^{2} \right )+\left ( c^{2}+a^{2} \right )\left ( c^{2}+b^{2} \right )}$

$\geq \frac{3}{4}$

=> P$\geq \frac{1}{3}.\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}=\frac{3}{16}$

dấu bằng xảy ra <=> x=y=z=2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thanh Huynh: 19-08-2013 - 18:13