3 replies to this topic

[hihi2zz]

Giải phương trình bằng sử dụng BĐT:

1) $\sqrt{3x^2-1}+\sqrt{x^2-x}-x\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(7x^2-x+4)$

2) $x^2+4x+5-\frac{3x}{x^2+x+1}=(x-1)(1-\frac{2\sqrt{1-x}}{\sqrt{x^2+x+1}})$

3) $x^{3000}+500x^3+1500x+1999=0$

4) $32x^4+(4x-1)^4=\frac{1}{27}$

5) $\left\{\begin{matrix} x^5+y^5+z^5=3\\ x^6+y^6+z^6=3 \end{matrix}\right.$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 1

Giải

ĐK: $x \geq 1$ hoặc $x \leq \dfrac{-1}{\sqrt{3}}$

Phương trình ban đầu tương đương:
$\sqrt{2(3x^2 - 1)} + \sqrt{2(x^2 - x)} + (- x\sqrt{2})\sqrt{x^2 + 1} = \dfrac{7x^2 - x + 4}{2}$

Áp dụng BĐT: $ab \leq \dfrac{a^2 + b^2}{2}$ với $a, b \in R$, ta có:
$VT \leq \dfrac{3x^2 - 1 + 2}{2} + \dfrac{x^2 - x + 2}{2} + \dfrac{2x^2 + x^2 + 1}{2} = \dfrac{7x^2 - x + 4}{2} = VF$

Vậy, phương trình có nghiệm khi:
$\left\{\begin{matrix}3x^2 - 1 = 2\\x^2 - x = 2\\-x\sqrt{2} = \sqrt{x^2 + 1}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow x = -1$

Edited by Phạm Hữu Bảo Chung, 17-09-2013 - 15:25.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 4

Giải

Đặt $2x = a$ và $1 - 4x = b$, khi đó: $2a + b = 1$

Vậy:
$32x^4 + (4x - 1)^4 = 2a^4 + b^4 = \dfrac{1}{27}$

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
$a^4 + \dfrac{1}{81} + \dfrac{1}{81} + \dfrac{1}{81} \geq \dfrac{4}{27}|a|$

Tương tự, ta có:
$b^4 + \dfrac{1}{81} + \dfrac{1}{81} + \dfrac{1}{81} \geq \dfrac{4}{27}|b|$
Vậy:

$2a^4 + b^4 + \dfrac{1}{9} \geq \dfrac{4}{27}(2|a| + |b|) \geq \dfrac{4}{27}(2a + b)$

$\Rightarrow 2a^4 + b^4 = \dfrac{4}{27}(2a + b) - \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{27}$

Do đó, phương trình ban đầu có nghiệm khi: $a = b = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{6}$

 

 

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 3

Giải

Vì x > 0 khiến phương trình vô nghiệm nên ta xét x < 0

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
$x^{3000} + 999 \geq 1000\sqrt[1000]{x^{3000}} = 1000|x|^3 = - 1000x^3$

Và
$x^{3000} + 2999 \geq 3000\sqrt[3000]{x^{3000}} = 3000|x| = - 3000x$

Vì vậy:
$2x^{3000} + 1000x^3 + 3000x + 3998 \geq 0$

 

$\Leftrightarrow x^{3000} + 500x^3 + 1500x + 1999 \geq 0$

Phương trình có nghiệm khi xảy ra dấu “=”, khi đó x = -1