Cho a,b,c>0 abc=1.CMR:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geqslant \frac{1}{2}(a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
$\sum \frac{a}{b}\geq \frac{1}{2}\sum a+\frac{1}{a}$ với $abc=1$
Bắt đầu bởi SPhuThuyS, 18-10-2013 - 14:39
bất đẳng thức
#2
Đã gửi 18-10-2013 - 14:54
25 minutes
-
- Hiệp sỹ
-
- 2795 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
Cho a,b,c>0 abc=1.CMR:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geqslant \frac{1}{2}(a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
BĐT $\Leftrightarrow 4(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\geqslant 2(a+b+c)+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ (1)
Áp dụng AM-GM ta có $a^2c+c \geqslant 2ac$
Sử dụng $sbc=1$ $\Rightarrow \frac{a}{b}+c\geqslant \frac{2}{b}$
Tương tự $2$ bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta được
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+c+b+a\geqslant \frac{2}{b}+\frac{2}{c}+\frac{2}{a}$ (2)
Từ (1) và (2) ta chỉ câng chứng minh
$4(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}) \geqslant 2(a+b+c)+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+a+b+c$
$\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geqslant a+b+c$
Áp dụng AM-GM ta có $\ \frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c} \geqslant 3\sqrt[3]{\frac{a^2b}{b^2c}}=3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=\frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}=3a$
Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta có đocm
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$
- SPhuThuyS yêu thích
#3
Đã gửi 18-10-2013 - 17:55
SPhuThuyS
-
- Thành viên
-
- 127 Bài viết
Trung sĩ
BĐT $\Leftrightarrow 4(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\geqslant 2(a+b+c)+2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ (1)
Áp dụng AM-GM ta có $a^2c+c \geqslant 2ac$
Sử dụng $sbc=1$ $\Rightarrow \frac{a}{b}+c\geqslant \frac{2}{b}$
Tương tự $2$ bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta được
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+c+b+a\geqslant \frac{2}{b}+\frac{2}{c}+\frac{2}{a}$ (2)
Từ (1) và (2) ta chỉ câng chứng minh
$4(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}) \geqslant 2(a+b+c)+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+a+b+c$
$\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geqslant a+b+c$
Áp dụng AM-GM ta có $\ \frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c} \geqslant 3\sqrt[3]{\frac{a^2b}{b^2c}}=3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=\frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}=3a$
Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta có đocm
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$
Cám ơn anh Tóc Ngắn, a xem cách này đúng không:
$\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c} \geqslant 3 \sqrt[3]{\frac{a^{2}}{bc}}=3a$
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{b}{c}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{ab}{c^{2}}}=\frac{3}{c}$
- Kir và 25 minutes thích
#4
Đã gửi 18-10-2013 - 17:59
25 minutes
-
- Hiệp sỹ
-
- 2795 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
Cám ơn anh Tóc Ngắn, a xem cách này đúng không:
$\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c} \geqslant 3 \sqrt[3]{\frac{a^{2}}{bc}}=3a$
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{b}{c}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{ab}{c^{2}}}=\frac{3}{c}$
Cách này thì quá hay còn gì nữa 
- SPhuThuyS yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024  bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
