Chủ đề này có 3 trả lời

[SPhuThuyS]

Cho a,b,c >0 thoả mãn: a+b+c =3

CMR: ab+ bc+ ca+ $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$ $\leqslant 6$

 

[duongluan1998]

Áp dụng BĐT Holder cho 3 số

$(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)\geq (a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{3}$

Vậy

$3\geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

Dễ dàng ta thấy

 $9=(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+ac+bc) \Leftrightarrow 3\geq ab+ac+bc$

Cộng lại kết thúc bài toán

[SPhuThuyS]

Áp dụng BĐT Holder cho 3 số

$(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)\geq (a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{3}$

Vậy

$3\geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

Dễ dàng ta thấy

 $9=(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+ac+bc) \Leftrightarrow 3\geq ab+ac+bc$

Cộng lại kết thúc bài toán

Hình như bất đẳng thức đầu có vấn đề:

bđt của nó là thế này thì phải:$(a^{3}+b^{3}+c^{3})(x^{3}+y^{3}+z^{3})(m^{3}+n^{3}+p^{3})\geqslant (axm+byn+czp)^{3}$

Giả sử a=2, b=0,9 c=0,1 thi a²b =3,6 >3

[25 minutes]

Cho a,b,c >0 thoả mãn: a+b+c =3

CMR: ab+ bc+ ca+ $a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$ $\leqslant 6$

Mình làm thế này không biết có đúng không nữa

Không mất tính tổng quát của bài toán ta có thể giả sư $a=min$ $\Rightarrow a\leqslant 1$

Đặt biểu thức là $f(a,b,c)$, ta sẽ chứng minh $f(a,b,c) \leqslant f(1,b,c)$

                $\Leftrightarrow ab+bc+ca+a^2b+b^2c+c^2a\leqslant b+bc+c+b+b^2c+c^2$

                $\Leftrightarrow ab+ca+a^2b+c^2a\leqslant 2b+c+c^2$

                $\Leftrightarrow b(a^2+a-2)+(c^2+c)(a-1)\leqslant 0$

Nhưng bất đẳng thức đã cho luôn đúng do $a \leqslant 1$

Khi đó ta chỉ cần chứng minh $f(1,b,c)=2b+bc+c+b^2c+c^2\leqslant 6$ với $b+c=2$

Thay $c=2-b$ vào ta có $\Leftrightarrow 2b+b(2-b)+2-b+b^2(2-b)+(2-b)^2-6\leqslant 0$

                                       $\Leftrightarrow b^3-2b^2+b\geqslant 0\Leftrightarrow b(b-1)^2\geqslant 0$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$