Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1.$. Chứng minh: $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+c)(1+a)}\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}\geqslant \frac{3}{4}.$
$abc=1.$ C/m :$\sum \frac{a^3}{(1+b)(1+c)}\geqslant \frac{3}{4}$
#1
Đã gửi 10-11-2013 - 13:53
#2
Đã gửi 10-11-2013 - 14:28
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1.$. Chứng minh: $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+c)(1+a)}\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}\geqslant \frac{3}{4}.$
Ta có : $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$
Áp dụng BĐT Cauchy :
$\Rightarrow \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\geq \frac{3}{4}a$
Tương tự với các BĐT còn lại :
$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{1}{2}(a+b+c)-\frac{3}{4}\geq \frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$
- eatchuoi19999, datcoi961999 và Tran Nguyen Lan 1107 thích
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
#3
Đã gửi 10-11-2013 - 23:01
áp dụng bđt AM-GM
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3\sqrt[3]{(abc)^{2}}=3$
ta có
$\sum \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}=\sum \frac{a^{4}}{a+ab+ac+1}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2a+2b+2c+2ab+2ac+2bc+3}$
do
$2a+2b+2c\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+3$
$2ab+2bc+2ac\leq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
nên $\sum \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}= \frac{3}{4}$
vậy được đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 10-11-2013 - 23:01
- eatchuoi19999 và leduylinh1998 thích
#4
Đã gửi 11-11-2013 - 23:03
áp dụng bđt AM-GM
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3\sqrt[3]{(abc)^{2}}=3$
ta có
$\sum \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}=\sum \frac{a^{4}}{a+ab+ac+1}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2a+2b+2c+2ab+2ac+2bc+3}$
do
$2a+2b+2c\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+3$
$2ab+2bc+2ac\leq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
nên $\sum \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}= \frac{3}{4}$
vậy được đpcm
Bạn giải chi tiết hơn được không?
#5
Đã gửi 11-11-2013 - 23:30
Bạn giải chi tiết hơn được không?
$2a+2b+2c\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+3\leq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$ (1)
$2ab+2bc+2ca\leq2(a^{2}+b^{2}++c^{2})$ (2)
(1)(2) suy ra
$2(a+b+c)+2(ac+bc+ab)+3\leq 4(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
- leduylinh1998 yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh