Chủ đề này có 4 trả lời

[eatchuoi19999]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1.$. Chứng minh: $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+c)(1+a)}\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}\geqslant \frac{3}{4}.$

[letankhang]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1.$. Chứng minh: $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+c)(1+a)}\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}\geqslant \frac{3}{4}.$

Ta có : $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$

Áp dụng BĐT Cauchy :

$\Rightarrow \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\geq \frac{3}{4}a$

Tương tự với các BĐT còn lại :

$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{1}{2}(a+b+c)-\frac{3}{4}\geq \frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$

[hoctrocuanewton]

áp dụng bđt AM-GM

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3\sqrt[3]{(abc)^{2}}=3$

ta có

$\sum \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}=\sum \frac{a^{4}}{a+ab+ac+1}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2a+2b+2c+2ab+2ac+2bc+3}$ 

do

$2a+2b+2c\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+3$

$2ab+2bc+2ac\leq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

nên $\sum \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}= \frac{3}{4}$

vậy được đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 10-11-2013 - 23:01

[leduylinh1998]

áp dụng bđt AM-GM

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3\sqrt[3]{(abc)^{2}}=3$

ta có

$\sum \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}=\sum \frac{a^{4}}{a+ab+ac+1}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2a+2b+2c+2ab+2ac+2bc+3}$ 

do

$2a+2b+2c\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+3$

$2ab+2bc+2ac\leq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

nên $\sum \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4}= \frac{3}{4}$

vậy được đpcm

Bạn giải chi tiết hơn được không?

[hoctrocuanewton]

Bạn giải chi tiết hơn được không?

$2a+2b+2c\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+3\leq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$ (1)

 

$2ab+2bc+2ca\leq2(a^{2}+b^{2}++c^{2})$ (2)

(1)(2) suy ra

$2(a+b+c)+2(ac+bc+ab)+3\leq 4(a^{2}+b^{2}+c^{2})$