Chủ đề này có 3 trả lời

[SPhuThuyS]

Cho a,b,c là 3 số thực. CMR:$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+3\geqslant (1+a)(1+b)(1+c)$

[nguyenqn1998]

Cho a,b,c là 3 số thực. CMR:$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+3\geqslant (1+a)(1+b)(1+c)$

a,b,c dương nhá!

lời giải như sau:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+3\geq (1+a)(1+b)(1+c)<=>2(a^2+b^2+c^2)+2abc+1+3\geq 2(ab+bc+ca)+2(a+b+c()$

mà ta có bất đẳng thức: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

ta cần c/m: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+3\geq 2(a+b+c) <=> (a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2\geq0$ (đúng)

=> dpcm

dấu '=' xảy ra khi $a=b=c=1$

[Phuong Thu Quoc]

a,b,c dương nhá!

lời giải như sau:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+3\geq (1+a)(1+b)(1+c)<=>2(a^2+b^2+c^2)+2abc+1+3\geq 2(ab+bc+ca)+2(a+b+c()$

mà ta có bất đẳng thức: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

ta cần c/m: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+3\geq 2(a+b+c) <=> (a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2\geq0$ (đúng)

=> dpcm

dấu '=' xảy ra khi $a=b=c=1$

Nêu ra là phải chứng minh cho mọi người, đặc biệt là thân chủ biết chứ!

Trong 3 số $a-1,b-1,c-1$ tồn tại ít  nhất 2 số cùng dấu

Giả sử $\left ( b-1 \right )\left ( c-1 \right )\geq 0\Rightarrow bc+1\geq b+c\Rightarrow 2abc+2\geq 2ab+2ac$

Mặt khác có $a^{2}+1\geq 2a,b^{2}+c^{2}\geq 2bc$

Cộng từng vế các BĐT trên ta được $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2\left ( ab+bc+ca \right )$

[nguyenqn1998]

Nêu ra là phải chứng minh cho mọi người, đặc biệt là thân chủ biết chứ!

Trong 3 số $a-1,b-1,c-1$ tồn tại ít  nhất 2 số cùng dấu

Giả sử $\left ( b-1 \right )\left ( c-1 \right )\geq 0\Rightarrow bc+1\geq b+c\Rightarrow 2abc+2\geq 2ab+2ac$

Mặt khác có $a^{2}+1\geq 2a,b^{2}+c^{2}\geq 2bc$

Cộng từng vế các BĐT trên ta được $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2\left ( ab+bc+ca \right )$

BĐT này quen thuộc rồi bạn