Chủ đề này có 2 trả lời

[eatchuoi19999]

Chứng minh: $\sqrt{x^2+(y-1)^2}+\sqrt{y^2+(z-1)^2}+\sqrt{z^2+(x-1)^2}\geqslant \frac{3\sqrt{2}}{2}$

 

[hoctrocuanewton]

áp dụng bđt Miacốpski ta có

$\sum \sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}=\sum \sqrt{x^{2}+(1-y)^{2}}\geq \sqrt{(x+y+z)^{2}+(3-x-y-z)^{2}}\geq \sqrt{\frac{1}{2}(x+y+z+3-x-y-z)^{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$

vậy được đpcm

[Trang Luong]

Chứng minh: $\sqrt{x^2+(y-1)^2}+\sqrt{y^2+(z-1)^2}+\sqrt{z^2+(x-1)^2}\geqslant \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Áp dụng BĐT Tọa độ : $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq \sqrt{(a+c)^2+(d+b)^2}$

Ta có : $\sqrt{x^2+(y-1)^2}+\sqrt{y^2+(z-1)^2}+\sqrt{z^2+(x-1)^2}\geq \sqrt{(x+y)^2+(y+z-2)^2}+\sqrt{z^2+(x-1)^2}\geq \sqrt{(x+y+z)^2+(3-x-y-z)^2}\geq \sqrt{\frac{1}{2}\left ( x+y+z+3-x-y-z \right )^2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$