1 reply to this topic

[leduylinh1998]

Cho $a,b,c>0; a+b+c=3$. CMR:

$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{3}{a^{4}+b^{4}+c^{4}}$

[bangbang1412]

Cho $a,b,c>0; a+b+c=3$. CMR:

$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{3}{a^{4}+b^{4}+c^{4}}$

$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{(\sum a)^{2}}{2\sum a^{2}+\sum ab}=\frac{9}{2\sum a^{2}+\sum ab}$

Vì vậy mà ta có bdt tương đương là $3\sum a^{4} \geq 2\sum a^{2}+\sum ab$

Lại có $\sum ab\leq \sum a^{2}$ nên ta chứng minh $\sum a^{4}\geq \sum a^{2}$

Ta có $3(\sum a^{2})\geq (\sum a)^{2}=9$ nên $\sum a^{2}\geq 3$

Ta có $3(\sum a^{4})\geq (\sum a^{2})^{2}\geq 3\sum a^{2}$ nên ta có đpcm 

Edited by bangbang1412, 17-11-2013 - 19:26.