Chủ đề này có 14 trả lời

[Dam Uoc Mo]

Trước khi nếu bài,em xin nếu câu hỏi em băn khoăn sau khi xem xong bài này:

1,Khi giải bài toán BĐT,giải dấu "=" xảy ra khi x=a,y=b,.... mà a,b,... không thỏa mãn điều kiện đã đặt thì có kết luận đc dấu "=" không xảy ra không?
2,Nếu nói là ko thì bài toán sau phải làm ntn ạ?

** Bài toán: Cho a,b,c,d không âm thỏa mãn :

$(a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)>0$.

CMR: A=$\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\geq 2.$

Lời giải:

Có :$\sqrt{a(b+c+d)}\leq \frac{a+b+c+d}{2}$$\Rightarrow \frac{2\sqrt{a(b+c+d)}}{a+b+c+d}\leq 1$

Nhân 2 vế với $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}$ có: $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}$

Tương tự với b,c,d.Cuối cùng cộng lại ta được $A\geq \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=2.$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d=0( chỗ này mọi người tự giải) =>Không thỏa mãn.

Vậy bđt không xảy ra dấu "=".
Nhưng dấu "=" xảy ra khi trong 4 số a,b,c,d có 2 số bằng 0 và 2 số còn lại bằng nhau nhưng dương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dam Uoc Mo: 09-02-2014 - 09:03

[buitudong1998]

Trước khi nếu bài,em xin nếu câu hỏi em băn khoăn sau khi xem xong bài này:

1,Khi giải bài toán BĐT,giải dấu "=" xảy ra khi x=a,y=b,.... mà a,b,... không thỏa mãn điều kiện đã đặt thì có kết luận đc dấu "=" không xảy ra không?
2,Nếu nói là ko thì bài toán sau phải làm ntn ạ?

** Bài toán: Cho a,b,c,d không âm thỏa mãn :

$(a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)>0$.

CMR: A=$\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\geq 2.$

Lời giải:

Có :$\sqrt{a(b+c+d)}\leq \frac{a+b+c+d}{2}$$\Rightarrow \frac{2\sqrt{a(b+c+d)}}{a+b+c+d}\leq 1$

Nhân 2 vế với $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}$ có: $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}$

Tương tự với b,c,d.Cuối cùng cộng lại ta được $A\geq \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=2.$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d=0( chỗ này mọi người tự giải) =>Không thỏa mãn.

Vậy bđt không xảy ra dấu "=".
Nhưng dấu "=" xảy ra khi trong 4 số a,b,c,d có 2 số bằng 0 và 2 số còn lại bằng nhau nhưng dương.

a+b+c+d chưa khác 0 nên chưa chia được, sai lầm ở đó!

[Dam Uoc Mo]

a+b+c+d chưa khác 0 nên chưa chia được, sai lầm ở đó!

Anh cho lời giải đc ko?Em chưa nghĩ ra :/

[Dam Uoc Mo]

a+b+c+d chưa khác 0 nên chưa chia được, sai lầm ở đó!

À ko anh nhầm ạ,có đk bài cho đấy ạ,a+b+c+d>0 mà,dựa vào (a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)>0.

[nghiemthanhbach]

Trước khi nếu bài,em xin nếu câu hỏi em băn khoăn sau khi xem xong bài này:

1,Khi giải bài toán BĐT,giải dấu "=" xảy ra khi x=a,y=b,.... mà a,b,... không thỏa mãn điều kiện đã đặt thì có kết luận đc dấu "=" không xảy ra không?
2,Nếu nói là ko thì bài toán sau phải làm ntn ạ?

** Bài toán: Cho a,b,c,d không âm thỏa mãn :

$(a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)>0$.

CMR: A=$\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\geq 2.$

Lời giải:

Có :$\sqrt{a(b+c+d)}\leq \frac{a+b+c+d}{2}$$\Rightarrow \frac{2\sqrt{a(b+c+d)}}{a+b+c+d}\leq 1$

Nhân 2 vế với $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}$ có: $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}$

Tương tự với b,c,d.Cuối cùng cộng lại ta được $A\geq \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=2.$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d=0( chỗ này mọi người tự giải) =>Không thỏa mãn.

Vậy bđt không xảy ra dấu "=".
Nhưng dấu "=" xảy ra khi trong 4 số a,b,c,d có 2 số bằng 0 và 2 số còn lại bằng nhau nhưng dương.

Từ lúc đánh giá cách làm của bạn đã sai rồi

Bây giờ có phải mục tiêu của bạn xuất hiện dấu bằng là các ẩn như nhau

Vậy ta cứ cho là dấu bằng của bạn xảy ra thi như vầy

$\Leftrightarrow 4\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq 2\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a}{3a}}\geq \frac{1}{2}\rightarrow \sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}}\geq 2$

Vậy dấu bằng không bao giờ xảy ra, tức bài này không có giá trị nhỏ nhất đâu

[Kaito Kuroba]

Trước khi nếu bài,em xin nếu câu hỏi em băn khoăn sau khi xem xong bài này:

1,Khi giải bài toán BĐT,giải dấu "=" xảy ra khi x=a,y=b,.... mà a,b,... không thỏa mãn điều kiện đã đặt thì có kết luận đc dấu "=" không xảy ra không?
2,Nếu nói là ko thì bài toán sau phải làm ntn ạ?

** Bài toán: Cho a,b,c,d không âm thỏa mãn :

$(a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)>0$.

CMR: A=$\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\geq 2.$

Lời giải:

Có :$\sqrt{a(b+c+d)}\leq \frac{a+b+c+d}{2}$$\Rightarrow \frac{2\sqrt{a(b+c+d)}}{a+b+c+d}\leq 1$

Nhân 2 vế với $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}$ có: $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}$

Tương tự với b,c,d.Cuối cùng cộng lại ta được $A\geq \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=2.$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d=0( chỗ này mọi người tự giải) =>Không thỏa mãn.

Vậy bđt không xảy ra dấu "=".
Nhưng dấu "=" xảy ra khi trong 4 số a,b,c,d có 2 số bằng 0 và 2 số còn lại bằng nhau nhưng dương.

$"="\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b+c+d & \\ b=a+c+d& \\ c=a+b+d& \\ d=a+b+c& \end{matrix}\right. \Rightarrow (a;b;c;d)=(x;x;0;0)$ và các hoán vị của chúng.

 

 

Từ lúc đánh giá cách làm của bạn đã sai rồi

Bây giờ có phải mục tiêu của bạn xuất hiện dấu bằng là các ẩn như nhau

Vậy ta cứ cho là dấu bằng của bạn xảy ra thi như vầy

$\Leftrightarrow 4\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq 2\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a}{3a}}\geq \frac{1}{2}\rightarrow \sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}}\geq 2$

Vậy dấu bằng không bao giờ xảy ra, tức bài này không có giá trị nhỏ nhất đâu

 

bài này nhân giá trị nhỏ nhất =2, sao lại không có.

[nghiemthanhbach]

Trước khi nếu bài,em xin nếu câu hỏi em băn khoăn sau khi xem xong bài này:

1,Khi giải bài toán BĐT,giải dấu "=" xảy ra khi x=a,y=b,.... mà a,b,... không thỏa mãn điều kiện đã đặt thì có kết luận đc dấu "=" không xảy ra không?
2,Nếu nói là ko thì bài toán sau phải làm ntn ạ?

** Bài toán: Cho a,b,c,d không âm thỏa mãn :

$(a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)>0$.

CMR: A=$\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\geq 2.$

Lời giải:

Có :$\sqrt{a(b+c+d)}\leq \frac{a+b+c+d}{2}$$\Rightarrow \frac{2\sqrt{a(b+c+d)}}{a+b+c+d}\leq 1$

Nhân 2 vế với $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}$ có: $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}$

Tương tự với b,c,d.Cuối cùng cộng lại ta được $A\geq \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=2.$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d=0( chỗ này mọi người tự giải) =>Không thỏa mãn.

Vậy bđt không xảy ra dấu "=".
Nhưng dấu "=" xảy ra khi trong 4 số a,b,c,d có 2 số bằng 0 và 2 số còn lại bằng nhau nhưng dương.

Bỏ cái ở dưới nhé, tớ làm lại cho :3 >.<

Áp dụng bất đẳng thức A-G ta có:

$\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}=\frac{2a}{2\sqrt{a(b+c+d)}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}\rightarrow \sum \geq 2$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow (a;b;c;d)$ là hoán vị của $(x;x;0;0)$ với $x>0$

Nếu làm như vầy sẽ bị vướng lúc mẫu bị âm phải không

vậy ta sẽ làm tượng tự nhưng sẽ không dính líu dến mẫu thức

TH1: không có ẩn nào có giá trị là $0$

$\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}\Leftrightarrow \sqrt{a}(a+b+c)>=2a\sqrt{b+c}$

Dễ dàng chứng minh với A-G hoặc cauchy 

TH2: xuất hiện ẩn bằng 0 thì

G/s một a;b;c;d bằng 0 thì bất đẳng thức vẫn đúng

Vậy ta đã có chỗ gãy khúc được giải đáp 

 

[nghiemthanhbach]

$"="\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b+c+d & \\ b=a+c+d& \\ c=a+b+d& \\ d=a+b+c& \end{matrix}\right. \Rightarrow (a;b;c;d)=(x;x;0;0)$ và các hoán vị của chúng.

 

 

 

bài này nhân giá trị nhỏ nhất =2, sao lại không có.

ghi nhầm

[nghiemthanhbach]

Trước khi nếu bài,em xin nếu câu hỏi em băn khoăn sau khi xem xong bài này:

1,Khi giải bài toán BĐT,giải dấu "=" xảy ra khi x=a,y=b,.... mà a,b,... không thỏa mãn điều kiện đã đặt thì có kết luận đc dấu "=" không xảy ra không?
2,Nếu nói là ko thì bài toán sau phải làm ntn ạ?

** Bài toán: Cho a,b,c,d không âm thỏa mãn :

$(a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)>0$.

CMR: A=$\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\geq 2.$

Lời giải:

Có :$\sqrt{a(b+c+d)}\leq \frac{a+b+c+d}{2}$$\Rightarrow \frac{2\sqrt{a(b+c+d)}}{a+b+c+d}\leq 1$

Nhân 2 vế với $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}$ có: $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}$

Tương tự với b,c,d.Cuối cùng cộng lại ta được $A\geq \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=2.$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d=0( chỗ này mọi người tự giải) =>Không thỏa mãn.

Vậy bđt không xảy ra dấu "=".
Nhưng dấu "=" xảy ra khi trong 4 số a,b,c,d có 2 số bằng 0 và 2 số còn lại bằng nhau nhưng dương.

Mở rộng vẫn đúng 

Tổng quát về bậc $1/n$

$\sum_{cyc} \sqrt[n]{\frac{a}{b+c+d}}\geq 2$ với $n$ nguyên dương khác 0

Tộng quát cụ thể hoá

$\sum _{cyc}\sqrt[n]{\frac{a_1}{\sum _{p=1}^q a_p}}\geq 2$

=)) cũng làm như trên thôi     

[Dam Uoc Mo]

$"="\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b+c+d & \\ b=a+c+d& \\ c=a+b+d& \\ d=a+b+c& \end{matrix}\right. \Rightarrow (a;b;c;d)=(x;x;0;0)$ và các hoán vị của chúng.

 

 

 

bài này nhân giá trị nhỏ nhất =2, sao lại không có.

Anh có thể làm "thuyết phục" em thêm 1 chút ko? từ hệ của anh nếu em cộng cả 4 pt của hệ theo vế thì suy ra a=b=c=d=0. (

[nghiemthanhbach]

Anh có thể làm "thuyết phục" em thêm 1 chút ko? từ hệ của anh nếu em cộng cả 4 pt của hệ theo vế thì suy ra a=b=c=d=0. (

Thuyết phục nhất là xét với 2 trong 4 ẩn trên =0

[Dam Uoc Mo]

Thuyết phục nhất là xét với 2 trong 4 ẩn trên =0

Cách cậu hay lắm.Xét 4 số khác 0,rồi có 1 số =0,rồi có 2 số = 0,rất cụ thể.

Tại cậu bình luận sau nên tôi xem sau nên mới thắc mắc.

[Viet Hoang 99]

$\sqrt{\frac{b+c+d}{a}}\leq \frac{a+b+c+d}{2a}$

Suy ra $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{b+c+d}$
Suy ra $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq 2$

[Yagami Raito]

Bài làm của bạn đúng phần chứng minh rồi chú ý thêm phải nói thêm là nhân cả 2 vế của BĐT cho $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}} \geq 0$
Dấu bằng xảy ra khi trong 4 số có 2 số bằng nhau và 2 số bằng 0

[Dam Uoc Mo]

$\sqrt{\frac{b+c+d}{a}}\leq \frac{a+b+c+d}{2a}$

Suy ra $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{b+c+d}$
Suy ra $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq 2$

Bài này cậu chưa chắc a khác 0,và giải dấu "=" ko thỏa mãn nên ko đc.

 

Bài làm của bạn đúng phần chứng minh rồi chú ý thêm phải nói thêm là nhân cả 2 vế của BĐT cho $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}} \geq 0$
Dấu bằng xảy ra khi trong 4 số có 2 số bằng nhau và 2 số bằng 0

Cách của tớ sai rồi vì giải dấu "=" ko đc.

Cách của nghiemthanhbach là chuẩn nhất.