Chủ đề này có 1 trả lời

[abcdxyzt]

Cho ba số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn: $3xy+yz+2zx=6$ 

Tìm GTLN của biểu thức: $P=\frac{1}{x^2+1}+\frac{4}{y^2+4}+\frac{3z}{9+z^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abcdxyzt: 20-06-2014 - 03:51

[NDP]

Lời giải

Giả thiết viết lại tương đương $\frac{xy}{2}+\frac{yz}{6}+\frac{zx}{3}=1$

Do đó tồn tại tam giác ABC sao cho $x=tan\frac{A}{2},\frac{y}{2}=tan\frac{B}{2},\frac{z}{3}=tan\frac{C}{2}$

Lúc đó P =$\frac{1}{tan^{2}\frac{A}{2}+1}+\frac{1}{tan^{2}\frac{B}{2}+1}+\frac{tan\frac{C}{2}}{tan^{2}\frac{C}{2}+1}$

          =$cos^{2}\frac{A}{2}+cos^{2}\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}$

          =$1+\frac{1}{2}(cosA+cosB)+sin\frac{C}{2}\sqrt{1-sin\frac{C}{2}}$

          =$1+cos\frac{A-B}{2}.cos\frac{A+B}{2}+sin\frac{C}{2}\sqrt{1-sin^{2}\frac{C}{2}}$

          $\leq 1+sin\frac{C}{2}+sin\frac{C}{2}\sqrt{1-sin^{2}\frac{C}{2}}$

Xét f(t=$sin\frac{C}{2}$)=$t+t\sqrt{1-t^{2}}$ vời 0<t<1 ta có f(t)$\leq f(\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{3\sqrt{3}}{4}$

Vậy Pmax=$\frac{4+3\sqrt{3}}{4}$ khi $\begin{cases} & \text{ } z=3\sqrt{3} \\ & \text{ } 2x=y=4-2\sqrt{3} \end{cases}$