Chủ đề này có 206 trả lời

[hoctrocuaZel]

Đề số 5

Câu 1: a/ Tìm số nguyên tố p sao cho $2.p^2-3$ và $2p^2+3$ là các số nguyên tố.

b/ Cho n là số nguyên khác 0. Gọi $x_1; x_2$ và $x_3; x_4$ lần lượt là các nghiệm của phương trình $x^2+5nx-1=0$ và $x^2+4nx-1=0$. CMR: $M=(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_1+x_4)(x_2+x_4)$ là số chính phương.

c/ Tồn tại hay không các số nguyên dương x,y,z thỏa man $x^2+y^2=3z^3$

Câu 2: a/ Giải phương trình: $x^3+2.\sqrt{(2x-1)^3}=3x(2x-1)$

b/ Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2(x+1)^3-y^3=y^4\\ \frac{1}{2}(x+y+1)=y^4 \end{matrix}\right.$

Câu 3:  Cho a,b,c >0. CMR: $\sum \frac{a^2+b^2}{c^2+ab}\geq 3$.

Câu 4:tam giác ABC nột tiếp (O) có $\angle ACB=\alpha$, hai điểm A,B cố định, đỉnh C di động trên cung lớn AB. Đường tròn (I;r) nội tiếp tg ABC tiếp xúc vs các cạnh AB,CA,AB tại D,E,F. Các đường AI và BI cắt EF tại M,N.

a/ Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN luôn qua điểm cố định.

b/ Đoạn MN có độ dài kg đổi.

c/ $\frac{IA.IB}{IK}=2r$. K là giao điểm của CI vs (O)

Câu 5:Cho 2012 số nguyên dương $x_1;x_2;...;x_{2012}$ thỏa mãn: $\frac{1}{\sqrt{ x_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_{2012}}}=125$

Chứng minh rằng trong 2012 số trên có ít nhất 3 số bằng nhau.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huong TH Phan: 08-09-2014 - 21:39

[Viet Hoang 99]

Đề số 5

 

Câu 5:Cho 2012 số nguyên dương $x_1;x_2;...;x_{2012}$ thỏa mãn: $\frac{1}{\sqrt{ x_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{x_{2012}}}=125$

Chứng minh rằng trong 2012 số trên có ít nhất 3 số bằng nhau.

$5)$ 

 

Giả sử trong $2012$ số trên không có quá hai số bằng nhau

 

$\Rightarrow 125\leq 2\left ( 1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{1006}} \right )$

$<2\left ( 1+\dfrac{2}{1+\sqrt{3}}+\dfrac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{4}}+...+\dfrac{2}{\sqrt{1005}+\sqrt{1007}} \right )$

$=2\left(\sqrt{1007}+\sqrt{1006}-\sqrt{2}\right)<125$

Vậy có ít nhất ba số bằng nhau.

http://truongviethoa...c1sqrtx201.html

[hoctrocuaZel]

Câu 1: a/ Tìm số nguyên tố p sao cho $2.p^2-3$ và $2p^2+3$ là các số nguyên tố.

Xét $p=2; p=5$ thỏa mãn.

Với $p>5$ thì $2p^2-3;2p^2+3>5$.

Khi đó, ta có: 

Xét: $p=5k\pm 1\Rightarrow 2p^2+3\vdots 5$

Xét: $p=5k\pm 2\Rightarrow 2p^2-3\vdots 5$

Suy ra trường hợp $p>5$ bị loại (vì các số này đều kg nguyên tố)

[hoctrocuaZel]

Câu 2: a/ Giải phương trình: $x^3+2.\sqrt{(2x-1)^3}=3x(2x-1)$

2.a/

Đặt $\sqrt{2x-1}=a$

PT $\Leftrightarrow x^3+2a^3=3x.a^2\Leftrightarrow (x-a)^2(x+2a)=0\Leftrightarrow x=a\Leftrightarrow x=\sqrt{2x-1}\Leftrightarrow x=1$

----------------------------

Topic hay, các mem chém sôi nổi vào.

[kimchitwinkle]

   Đề I 

Câu 1 ( 3 điểm ) Cho A = $\left ( \frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+ 2\sqrt{x}+1} \right )$ $\cdot \frac{x^{2}-2x+1}{2}$

                      a, Rút gọn A

                      b, Tìm x để A > 0

                      c, Tìm giá trị lớn nhất của A

Câu 2 ( 6 điểm ) 

       a, Giải phương trình : $2x^{2} - 8x - 3 \sqrt{x^{2}-4x -8} =18$

       b, Giải bất phương trình : $\left | 2x - 7 \right | < x^{2} +2x +2$

       c, Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} (x+y)(x^{2}-y^{2})=45 & \\ (x-y)(x^{2}+y^{2})=85& \end{matrix}\right.$

Câu 3 ( 4 điểm )

          a, Cho a+b+c = 0, tính giá trị biểu thức 

P =$\frac{1}{b^{2}+ c^{2}-a^{2}} + \frac{1}{a^{2}+c^{2}-b^{2}} + \frac{1}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}$

       b, Tìm số tự nhiên n saocho A = $n^{2 } +n +6$ là số chính phương.

Câu 4 ( 5 điểm ) 

a, Từ một điểm A nằm ngoài ( O ; R ) kẻ hai tiếp tuyến AM ,AN ( M , N  là tiếp điểm ). Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M và N/ Tiếp tuyến tại P cắt AM tại B , cắt AN tại C. Cho A cố định và AO = a.

a, Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi khi P di động trên cung nhỏ MN. Tính giá trị không đổi ấy theo a và R.

b, Cho tam giác ABC có diện tích bằng 36 ( đơn vị diện tích ). Trên cạnh BC và cạnh CA lần lượt lấy điểm D và E sao cho DC = 3DB và EA = 2EC  ; AD cắt BE tại I . Tính diện tích tam giác BID .

Câu 5 ( 2 điểm ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Q = $\frac{1}{2}\left ( \frac{x^{10}}{y^{2}}+\frac{y^{10}}{x^{2}} \right ) +\frac{1}{4}\left ( x^{16}+y^{16} \right ) - \left ( 1+x^{2}y^{2} \right )^{2}$

p/s: Mọi người chém nhiệt tình nha       

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kimchitwinkle: 09-09-2014 - 22:20

[chieckhantiennu]

 

 

Câu 2 ( 6 điểm ) 

       a, Giải phương trình : $2x^{2} - 8x - 3 \sqrt{x^{2}-4x -8} =18$ (1)

      

 

DKXD: $x\geq 2(1+\sqrt{3});x\leq 2(1-\sqrt{3})$

$(1)\Leftrightarrow 2(x^2-4x-8)-3\sqrt{x^2-4x-8}-2=0$

Đặt $\sqrt{x^2-4x-8}=a\geq 0$

Ta có: $(1)\Leftrightarrow 2a^2-3a-2$

Dễ dàng giải dc pt này. Tìm a tìm x loại nghiệm.

[chieckhantiennu]

 

       b, Giải bất phương trình : $\left | 2x - 7 \right | < x^{2} +2x +2$ (2)

       

 

$(1)\Leftrightarrow -(x^2+2x+2)<2x-7<x^2+2x+2$

$-(x^2+2x+2)<2x-7 \Leftrightarrow (x-1)(x+5)>0\Leftrightarrow x>1;x<-5$

$2x-7<x^2+2x+2 \Leftrightarrow x^2+9>0$ (luôn đúng)

[chieckhantiennu]

Góp 1 đề nữa. 

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chieckhantiennu: 11-09-2014 - 21:44

[chieckhantiennu]

 

 

 

       c, Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix} (x+y)(x^{2}+y^{2})=45 & \\ (x-y)(x^{2}+y^{2})=85& \end{matrix}\right.$ (I)

 

Dễ thấy $x-y;x+y \neq 0$

Ta có: 

$(I)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2+y^2=\frac{45}{x+y} & \\ x^2+y^2=\frac{85}{x-y} & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{45}{x+y}=\frac{85}{x-y}\Rightarrow -40x=89y$

Rút x từ y thế vào (I) tìm được nghiệm.

_______________ 

Hướng làm là như thế. 

[kimchitwinkle]

Dễ thấy $x-y;x+y \neq 0$

Ta có: 

$(I)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2+y^2=\frac{45}{x+y} & \\ x^2+y^2=\frac{85}{x-y} & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{45}{x+y}=\frac{85}{x-y}\Rightarrow -40x=89y$

Rút x từ y thế vào (I) tìm được nghiệm.

_______________ 

Hướng làm là như thế. 

mình vội nên chép nhầm đề rồi phải là $\left\{\begin{matrix} (x+y)(x^{2}-y^{2})=45 & \\ (x-y)(x^{2}+y^{2})=85 & \end{matrix}\right.$

[chieckhantiennu]

mình vội nên chép nhầm đề rồi phải là $\left\{\begin{matrix} (x+y)(x^{2}-y^{2})=45 & \\ (x-y)(x^{2}+y^{2})=85 & \end{matrix}\right.$ (I)

$(I)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x-y)(x^2+y^2)=85 (1) & \\ (x+y)^2(x-y)=45 & \end{matrix}\right.(2)$

$(2)-(1)\Rightarrow (x-y)2xy=-40(3)$

$(1)-(3)\Rightarrow (x-y)^3=125$

Do đó:

$(I)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(x-y)^3=125 & \\ (x+y)^2=9 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x-y=5 & \\ x+y=\pm 3 & \end{matrix}\right.$

Dễ dàng giải dc hệ này

[nguyenhongsonk612]

Góp 1 đề nữa. 

Bài $4$ nhé

Không mất tính tổng quát, ta chuẩn hóa $a+b+c=3$. Khi đó

BĐT cần C/m $\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a}{a+3}}+\sqrt{\frac{b}{b+3}}+\sqrt{\frac{c}{c+3}}\leq \frac{3}{2}$

Ta C/m BĐT phụ sau: $\sqrt{\frac{a}{a+3}}\leq \frac{3a+5}{16}$ $(1)$. Bình phương, phân tích thành nhân tử, ta được

$(1)$ $\Leftrightarrow (a-1)^2(9a+75)\geq 0$ (luôn đúng với $a>0$)

Thiết lập tương tự với các biểu thức còn lại ta được:

$\sqrt{\frac{b}{b+3}}\leq \frac{3b+5}{16}$ $(2)$; $\sqrt{\frac{c}{c+3}}\leq \frac{3c+5}{16}$ $(3)$

Cộng vế với vế $(1)$;$(2)$; $(3)$, ta được đpcm

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c>0$

[kimchitwinkle]

Mình xin chém bài 1     

 

 

Câu 1 ( 3 điểm ) Cho A = $\left ( \frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+ 2\sqrt{x}+1} \right )$ $\cdot \frac{x^{2}-2x+1}{2}$

                      a, Rút gọn A

                      b, Tìm x để A > 0

                      c, Tìm giá trị lớn nhất của A

 

a, A= $\left ( \frac{\sqrt{x}-2}{\left ( \sqrt{x}-1 \right )\cdot \left ( \sqrt{x}+1 \right )}-\frac{\sqrt{x}+2}{\left ( \sqrt{x}+1 \right )^{2}} \right )\cdot \frac{\left ( x-1 \right )^{2}}{2}$

= $\left ( \frac{\left ( \sqrt{x}-2 \right )\left ( \sqrt{x}+1 \right )}{\left ( \sqrt{x}+1 \right )\left ( x-1 \right )}-\frac{\left ( \sqrt{x}+2 \right )\left ( \sqrt{x}-1 \right )}{\left ( \sqrt{x}+1 \right )\left ( x-1 \right )} \right )\cdot \frac{\left ( x-1 \right )^{2}}{2}$

=$\frac{x+\sqrt{x}-2\sqrt{x}-2-x+\sqrt{x}-2\sqrt{x}+2}{\left ( \sqrt{x}+1 \right )\left ( x-1 \right )}\cdot \frac{\left ( x-1 \right )^{2}}{2}$

=$\frac{-2\sqrt{x}}{\left ( \sqrt{x}+1 \right )\left ( x-1 \right )}\cdot \frac{\left ( x-1 \right )^{2}}{2}$

=$\frac{-\sqrt{x}\left ( x-1 \right )}{\sqrt{x}+1}$

= $\frac{-\sqrt{x}\left ( \sqrt{x}-1 \right )\left ( \sqrt{x}+1 \right )}{\sqrt{x}+1}$

=$\sqrt{x}-x$

[kimchitwinkle]

 

 

Câu 1 ( 3 điểm ) Cho A = $\left ( \frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+ 2\sqrt{x}+1} \right )$ $\cdot \frac{x^{2}-2x+1}{2}$

                      a, Rút gọn A

                      b, Tìm x để A > 0

                      c, Tìm giá trị lớn nhất của A

 

b, Ta có : A > 0  <=> $\sqrt{x}-x > 0$

                          <=> $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x} > 0& \\ 1-\sqrt{x}> 0& \end{matrix}\right.$

                          <=> 0<x<1

[kimchitwinkle]

 

 

Câu 1 ( 3 điểm ) Cho A = $\left ( \frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+ 2\sqrt{x}+1} \right )$ $\cdot \frac{x^{2}-2x+1}{2}$

                      a, Rút gọn A

                      b, Tìm x để A > 0

                      c, Tìm giá trị lớn nhất của A

 

c, Có : A = $\sqrt{x}-x$

              = -( $x-\sqrt{x}$ )

              = - ( $x- 2\sqrt{x}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}$

              = - $\left ( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{1}{4}$

       Vậy A $\leqslant \frac{1}{4}$ ( không đổi )

Dấu "=" xảy ra <=> $\sqrt{x}-\frac{1}{2} =0$

                       <=> x = $\frac{1}{4}$

Kết luận : Max A = $\frac{1}{4}$ <=> x = $\frac{1}{4}$

[chieckhantiennu]

Câu 3 ( 4 điểm )

          a, Cho a+b+c = 0, tính giá trị biểu thức 

P =$\frac{1}{b^{2}+ c^{2}-a^{2}} + \frac{1}{a^{2}+c^{2}-b^{2}} + \frac{1}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}$

     

$P=\frac{1}{(b+c)^2-a^2-2bc}+\frac{1}{(a+c)^2-b^2-2ac}+\frac{1}{(a+b)^2-c^2-2ab}=\frac{-1}{2b}(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab})=0$

[chieckhantiennu]

Góp 1 đề nữa. 

Bài 4 một cách nữa.

 $(\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}})=A$

Áp dụng BCS:

$A^2\leq 3(\frac{a}{b+c+2a}+\frac{b}{c+a+2b}+\frac{c}{a+b+2c})$(1)

Mặt khác:

$\frac{a}{(a+b)+(c+a)}\leq \frac{1}{4}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c});$

$\frac{b}{(b+c)+(b+a)}\leq \frac{1}{4}(\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c});$

$\frac{c}{(a+c)+(c+b)}\leq \frac{1}{4}(\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+c});$

Cộng từng vế các BDT trên thêm vào (1) là dc dpcm.Dấu "="$$\Leftrightarrow a=b=c>0$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chieckhantiennu: 10-09-2014 - 17:06

[kimchitwinkle]

 

 

Câu 4 ( 5 điểm ) 

a, Từ một điểm A nằm ngoài ( O ; R ) kẻ hai tiếp tuyến AM ,AN ( M , N  là tiếp điểm ). Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M và N/ Tiếp tuyến tại P cắt AM tại B , cắt AN tại C. Cho A cố định và AO = a.

a, Chứng minh chu vi tam giác ABC không đổi khi P di động trên cung nhỏ MN. Tính giá trị không đổi ấy theo a và R.

 

 

AD tính chất 2 tiếp tuyến căt nhau có : 

   AM = AN ; BP = BM ; pC = CN .

Chu vi tam giác ABC = AB + AC + BC 

                                 = AB + AC + BP +PC

                                 = 2AM 

Mà O, A cố định => M cố định 

Vậy chu vi tam giác ABC = 2AM ( không đổi )

ADĐL Pitago vào tam giác AMO vuông ở M có:

    $AM^{2} = OA^{2}-OM^{2}$

<=> $AM = \sqrt{a^{2}-R^{2}}$

 => 2AM = $2\cdot \sqrt{a^{2}-R^{2}}$

[Viet Hoang 99]

Góp 1 đề nữa. 

Anh nhìn thấy đề này một lần rồi mà không biết sai sót chỗ nào...

Báo đăng sai đề à  http://diendantoanho...m-hoc-2011-2012

[hoctrocuaZel]

Góp 1 đề nữa. 

Câu 3/

$(x-5)^3-6=\sqrt[3]{(x+1)}$

Đặt: $x-5=a; \sqrt[3]{x+1}=b\rightarrow HPT: \left\{\begin{matrix} a^3-6=b\\ a-b^3=-6 \end{matrix}\right.\Rightarrow a^3+a-b^3-b=0\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2+1)=0\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow x-5=\sqrt[3]{x+1}\Rightarrow x=7$