Chủ đề này có 1 trả lời

[Dam Uoc Mo]

Giả sử m,n là 2 số tự nhiên sao cho m không có ước nguyên tố $\leq n$.

CMR: $A=(m-1)(m^{2}-1)(m^{3}-1)...(m^{n}-1)\vdots n!$.

[Juliel]

Giả sử m,n là 2 số tự nhiên sao cho m không có ước nguyên tố $\leq n$.

CMR: $A=(m-1)(m^{2}-1)(m^{3}-1)...(m^{n}-1)\vdots n!$.

Lời giải :

Gọi $p$ là một số nguyên tố bất kỳ không vượt quá $n$. Rõ ràng vì $p\leq n$ nên chắc chắn $p \nmid m$ vì mọi ước nguyên tố của $m$ đều vượt quá $n$, tức $\gcd(m,p)=1$. 

Ta có :

$$v_p\left ( (m-1)(m^2-1)(m^3-1)...(m^n-1) \right )\geq v_p\left ( \prod_{0\leq k(p-1)\leq n}(m^{k(p-1)}-1)\right )=\sum_{0\leq k(p-1)\leq n}v_p\left ( m^{k(p-1)}-1 \right )$$

Do $\gcd(p,m)=1$ nên theo định lí Fermat nhỏ :

$$v_p\left ( m^{k(p-1)}-1 \right )\geq 1$$

Suy ra :

$$\sum_{0\leq k(p-1)\leq n}v_p\left ( m^{k(p-1)}-1 \right ) \geq \left \lfloor \dfrac{n}{p-1} \right \rfloor\;\;\;\;(1)$$

Hơn nữa theo định lí Legendre (Polignac Formula) :

$$v_p\left ( n! \right )=\sum_{i=0}^{\infty }\left \lfloor \dfrac{n}{p^i} \right \rfloor\leq n\sum_{i=0}^{\infty }\dfrac{1}{p^i}=\dfrac{n}{p-1}\Rightarrow v_p(n!)\leq \left \lfloor \dfrac{n}{p-1} \right \rfloor\;\;\;(2)$$

Từ $(1)(2)$ ta suy ra :

$$v_p(n!)\leq v_p\left ( (m-1)(m^2-1)...(m^n-1) \right )$$

Điều này là tương đương với điều cần chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 13-09-2014 - 17:57