Bài 1: Tìm tất cả các số n sao cho với mỗi số lẻ a nếu $a^2<n$ thì a là ước của n.
Bài 2: Tìm số nguyên dương n có đúng 12 ước $1=d_1<d_2<...<d_{12}=n$ sao cho $d_{d_4}=(d_1+d_2+d_4)d_8$
Bài 1: Tìm tất cả các số n sao cho với mỗi số lẻ a nếu $a^2<n$ thì a là ước của n.
Bài 2: Tìm số nguyên dương n có đúng 12 ước $1=d_1<d_2<...<d_{12}=n$ sao cho $d_{d_4}=(d_1+d_2+d_4)d_8$
Bài 1: Tìm tất cả các số n sao cho với mỗi số lẻ a nếu $a^2<n$ thì a là ước của n.
Bài 2: Tìm số nguyên dương n có đúng 12 ước $1=d_1<d_2<...<d_{12}=n$ sao cho $d_{d_4}=(d_1+d_2+d_4)d_8$
1)
Ta có $k^2< n\le(k+1)^2$ ($k\le1$) và $n\ \vdots$ các số lẻ $\le k$.
$\boxed{}$ TH $k=1$ : thì $1<n\le4$ và $n\ \vdots\ 1$. Kiểm tra thấy $n=2;3;4$ thoả.
$\boxed{}$ TH $k=3$ : thì $9<n\le16$ và $n\ \vdots\ 1;3$. Kiểm tra thấy $n=12;15$ thoả.
$\boxed{}$ TH $k\ge5$ lẻ : (gt)$\Rightarrow n\ \vdots\ 1\ ;\ 3\ ;\ ...;\ k-2\ ;\ k$ (*)
$\Rightarrow n=k.q$$\Rightarrow k<q\le k+2+\frac{1}{k}<k+3$$\Rightarrow q=k+1;k+2$
$\boxed{}$ TH $k=2$ : thì $4<n\le9$ và $n\ \vdots\ 1$. Kiểm tra thấy $n=5;6;7;8;9$ thoả.
$\boxed{}$ TH $k=4$ : thì $16< n\le25$ và $n\ \vdots\ 1;3$. Kiểm tra thấy $n=18;21;24$ thoả.
$\boxed{}$ TH $k\ge6$ chẵn : (gt)$\Rightarrow n\ \vdots\ 1\ ;\ 3\ ;\ ...;\ k-3\ ;\ k-1$ (*)
$\Rightarrow n=(k-1).q$$\Rightarrow k+1+\frac{1}{k-1}<q\le k+3+\frac{4}{k-1}\le k+4$$\Rightarrow q=k+2;\ k+3$
Vậy tất cả các $n$ thoả ycbt là : $n=2;3;4;5;6;7;8;9;12;15;18;21;24;30;45$.
Bài 2: Tìm số nguyên dương n có đúng 12 ước $1=d_1<d_2<...<d_{12}=n$ sao cho $d_{d_4}=(d_1+d_2+d_4)d_8$ (*)
Ta có : $1=d_1\ <\ d_2\ <\ d_3\ <\ d_4\ <\ d_5\ <\ d_6\ <\ d_7=\frac{n}{d_6}\ <\ d_8=\frac{n}{d_5}\ <\ d_9$$=\frac{n}{d_4}\ <\ d_{10}=\frac{n}{d_3}\ <\ d_{11}=\frac{n}{d_2}\ <\ d_{12}=n$
Ta có $d_8<d_{d_4}=(1+d_2+d_4)d_8\le d_{12}\Rightarrow 9\le d_4\le12$.
$\boxed{}$ $d_4=9$ thì $n\ \vdots\ 1;3;9$ $\Rightarrow d_2=3$ hoặc $d_3=3$
$\boxed{}$ $d_4=10$ thì $n\ \vdots\ 1;2;5;10$ $\Rightarrow d_2=2;\ d_3=5$ và (*) $\Rightarrow\frac{n}{5}=13.\frac{n}{d_5}$$\Rightarrow d_5=5.13$$\Rightarrow n\ \vdots\ 13$ mà $d_4<13<d_5$ (Mâu thuẫn)
$\boxed{}$ $d_4=11$ thì (*) $\Rightarrow d_2(d_2+12)=d_5$ $\Rightarrow n\ \vdots\ (d_2+12)$ mà $d_4<(d_2+12)<d_5$ (Mâu thuẫn)
$\boxed{}$ $d_4=12$ thì $n\ \vdots\ 1;2;3;4;6;12$ (Mâu thuẫn)
Vậy không tồn tại số $n$ thoả ycbt.
------------------------------------------------------------------------------
Mình thấy bài này quen quen, hình như giống đề thi học sinh giỏi toán năm nào đó (ko rõ lắm), mình cũng đã có up bài giải qua trên 4rum, nhưng nhớ là lúc đó giải ra có nghiệm. Sao giờ giải ra ko có $n$ cũng thấy kì kì. Nhưng mà kiểm tra kĩ ko thấy có vấn đề chỗ nào. Hay là đề sai ??
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 24-10-2014 - 14:56
Ta có : $1=d_1\ <\ d_2\ <\ d_3\ <\ d_4\ <\ d_5\ <\ d_6\ <\ d_7=\frac{n}{d_6}\ <\ d_8=\frac{n}{d_5}\ <\ d_9$$=\frac{n}{d_4}\ <\ d_{10}=\frac{n}{d_3}\ <\ d_{11}=\frac{n}{d_2}\ <\ d_{12}=n$
Ta có $d_8<d_{d_4}=(1+d_2+d_4)d_8\le d_{12}\Rightarrow 9\le d_4\le12$.
$\boxed{}$ $d_4=9$ thì $n\ \vdots\ 1;3;9$ $\Rightarrow d_2=3$ hoặc $d_3=3$
- nếu $d_2=3$ thì (*) $\Rightarrow\frac{n}{9}=13.\frac{n}{d_5}$$\Rightarrow d_5=9.13$$\Rightarrow n\ \vdots\ 13$ mà $d_4<13<d_5$ (Mâu thuẫn).
- nếu $d_3=3$ thì $d_2=2$ và (*) $\Rightarrow\frac{n}{9}=12.\frac{n}{d_5}$$\Rightarrow d_5=9.12$$\Rightarrow n\ \vdots\ 12$ mà $d_4<12<d_5$ (Mâu thuẫn).
$\boxed{}$ $d_4=10$ thì $n\ \vdots\ 1;2;5;10$ $\Rightarrow d_2=2;\ d_3=5$ và (*) $\Rightarrow\frac{n}{5}=13.\frac{n}{d_5}$$\Rightarrow d_5=5.13$$\Rightarrow n\ \vdots\ 13$ mà $d_4<13<d_5$ (Mâu thuẫn)
$\boxed{}$ $d_4=11$ thì (*) $\Rightarrow d_2(d_2+12)=d_5$ $\Rightarrow n\ \vdots\ (d_2+12)$ mà $d_4<(d_2+12)<d_5$ (Mâu thuẫn)
$\boxed{}$ $d_4=12$ thì $n\ \vdots\ 1;2;3;4;6;12$ (Mâu thuẫn)
Vậy không tồn tại số $n$ thoả ycbt.
------------------------------------------------------------------------------
Mình thấy bài này quen quen, hình như giống đề thi học sinh giỏi toán năm nào đó (ko rõ lắm), mình cũng đã có up bài giải qua trên 4rum, nhưng nhớ là lúc đó giải ra có nghiệm. Sao giờ giải ra ko có $n$ cũng thấy kì kì. Nhưng mà kiểm tra kĩ ko thấy có vấn đề chỗ nào. Hay là đề sai ??
Mình cũng ko hiểu đề này lắm, bạn giải thích giúp mình với, Cái chỗ " $d_4<d_8$ thì mình nghĩ $d_d_4$ phải nhỏ hơn $d_8$ chứ, sao lại có cái đẳng thức kia nhể?
Mình cũng ko hiểu đề này lắm, bạn giải thích giúp mình với, Cái chỗ " $d_4<d_8$ thì mình nghĩ $d_{d_4}$ phải nhỏ hơn $d_8$ chứ, sao lại có cái đẳng thức kia nhể?
* Viết $d_{d_4}$ thì hiểu $d_{d_4}$ cũng là một ước của $n$ với $d_4$ lúc này là một chỉ số
* Mặt khác do $d_{d_4}=(d_1+d_2+d_4)d_8=d_8+(d_2+d_4)d_8>d_8$ nên $d_{d_4}$ là ước lớn hơn $d_8$ và tối đa là $d_{12}$. Do đó $d_{d_4}$ là một trong các ước từ $d_9$ đến $d_{12}$
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$x^n+n \vdots p^m$Bắt đầu bởi trinhgiahuy2008, 15-01-2024 số học |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh