Chủ đề này có 4 trả lời

[kevotinh2802]

Bài 1: Tìm tất cả các số n sao cho với mỗi số lẻ a nếu $a^2<n$ thì a là ước của n.

Bài 2: Tìm số nguyên dương n có đúng 12 ước $1=d_1<d_2<...<d_{12}=n$ sao cho $d_{d_4}=(d_1+d_2+d_4)d_8$

[Kool LL]

Bài 1: Tìm tất cả các số n sao cho với mỗi số lẻ a nếu $a^2<n$ thì a là ước của n.

Bài 2: Tìm số nguyên dương n có đúng 12 ước $1=d_1<d_2<...<d_{12}=n$ sao cho $d_{d_4}=(d_1+d_2+d_4)d_8$

 

1)

Ta có $k^2< n\le(k+1)^2$ ($k\le1$) và $n\ \vdots$ các số lẻ $\le k$.

 

$\boxed{}$ TH $k=1$ : thì $1<n\le4$ và $n\ \vdots\ 1$. Kiểm tra thấy $n=2;3;4$ thoả.

$\boxed{}$ TH $k=3$ : thì $9<n\le16$ và $n\ \vdots\ 1;3$. Kiểm tra thấy $n=12;15$ thoả.

$\boxed{}$ TH $k\ge5$ lẻ : (gt)$\Rightarrow n\ \vdots\ 1\ ;\ 3\ ;\ ...;\ k-2\ ;\ k$ (*)

$\Rightarrow n=k.q$$\Rightarrow k<q\le k+2+\frac{1}{k}<k+3$$\Rightarrow q=k+1;k+2$

• Với $q=k+1$ thì $n=k(k+1)=(k+3)(k-2)+6\ \vdots\ (k-2)\Rightarrow 6\ \vdots\ (k-2)$ $\Rightarrow k-2=3$$\Rightarrow k=5$$\Rightarrow n=30$. Kiểm tra thấy thoả.

• Với $q=k+2$ thì $n=k(k+2)=(k+4)(k-2)+8\ \vdots\ (k-2)$$\Rightarrow 8\ \vdots\ (k-2)$. Không có $k\ge5$ lẻ nào thoả.

$\boxed{}$ TH $k=2$ : thì $4<n\le9$ và $n\ \vdots\ 1$. Kiểm tra thấy $n=5;6;7;8;9$ thoả.

$\boxed{}$ TH $k=4$ : thì $16< n\le25$ và $n\ \vdots\ 1;3$. Kiểm tra thấy $n=18;21;24$ thoả.

$\boxed{}$ TH $k\ge6$ chẵn : (gt)$\Rightarrow n\ \vdots\ 1\ ;\ 3\ ;\ ...;\ k-3\ ;\ k-1$ (*)

$\Rightarrow n=(k-1).q$$\Rightarrow k+1+\frac{1}{k-1}<q\le k+3+\frac{4}{k-1}\le k+4$$\Rightarrow q=k+2;\ k+3$

• Với $q=k+2$ thì $n=(k-1)(k+2)=(k+4)(k-3)+10\ \vdots\ (k-3)\Rightarrow 10\ \vdots\ (k-3)$$\Rightarrow k-3=5$$\Rightarrow k=8$$\Rightarrow n=70$. Loại vì $\not\vdots\ 3$.

• Với $q=k+3$ thì $n=(k-1)(k+3)=(k+5)(k-3)+12\ \vdots\ (k-3)$$\Rightarrow 12\ \vdots\ (k-3)$$\Rightarrow k-3=3$$\Rightarrow k=6$$\Rightarrow n=45$. Kiểm tra thấy thoả.

• Với $q=k+4$ thì $n=(k-1)(k+4)=(k+6)(k-3)+14\ \vdots\ (k-3)$$\Rightarrow 14\ \vdots\ (k-3)$$\Rightarrow k-3=7$$\Rightarrow k=10$$\Rightarrow n=126$. Loại vì $\not\vdots\ 5$.

Vậy tất cả các $n$ thoả ycbt là : $n=2;3;4;5;6;7;8;9;12;15;18;21;24;30;45$.

[Kool LL]

Bài 2: Tìm số nguyên dương n có đúng 12 ước $1=d_1<d_2<...<d_{12}=n$ sao cho $d_{d_4}=(d_1+d_2+d_4)d_8$ (*)

 

Ta có : $1=d_1\ <\ d_2\ <\ d_3\ <\ d_4\ <\ d_5\ <\ d_6\ <\ d_7=\frac{n}{d_6}\ <\ d_8=\frac{n}{d_5}\ <\ d_9$$=\frac{n}{d_4}\ <\ d_{10}=\frac{n}{d_3}\ <\ d_{11}=\frac{n}{d_2}\ <\ d_{12}=n$

Ta có $d_8<d_{d_4}=(1+d_2+d_4)d_8\le d_{12}\Rightarrow 9\le d_4\le12$.

$\boxed{}$ $d_4=9$ thì $n\ \vdots\ 1;3;9$ $\Rightarrow d_2=3$ hoặc $d_3=3$

• nếu $d_2=3$ thì (*) $\Rightarrow\frac{n}{9}=13.\frac{n}{d_5}$$\Rightarrow d_5=9.13$$\Rightarrow n\ \vdots\ 13$ mà $d_4<13<d_5$ (Mâu thuẫn).
• nếu $d_3=3$ thì $d_2=2$ và (*) $\Rightarrow\frac{n}{9}=12.\frac{n}{d_5}$$\Rightarrow d_5=9.12$$\Rightarrow n\ \vdots\ 12$ mà $d_4<12<d_5$ (Mâu thuẫn).

$\boxed{}$ $d_4=10$ thì $n\ \vdots\ 1;2;5;10$ $\Rightarrow d_2=2;\ d_3=5$ và (*) $\Rightarrow\frac{n}{5}=13.\frac{n}{d_5}$$\Rightarrow d_5=5.13$$\Rightarrow n\ \vdots\ 13$ mà $d_4<13<d_5$ (Mâu thuẫn)

$\boxed{}$ $d_4=11$ thì (*) $\Rightarrow d_2(d_2+12)=d_5$ $\Rightarrow n\ \vdots\ (d_2+12)$ mà $d_4<(d_2+12)<d_5$ (Mâu thuẫn)

$\boxed{}$ $d_4=12$ thì $n\ \vdots\ 1;2;3;4;6;12$ (Mâu thuẫn)

 

Vậy không tồn tại số $n$ thoả ycbt.

 

------------------------------------------------------------------------------

Mình thấy bài này quen quen, hình như giống đề thi học sinh giỏi toán năm nào đó (ko rõ lắm), mình cũng đã có up bài giải qua trên 4rum, nhưng nhớ là lúc đó giải ra có nghiệm. Sao giờ giải ra ko có $n$ cũng thấy kì kì. Nhưng mà kiểm tra kĩ ko thấy có vấn đề chỗ nào. Hay là đề sai ??

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 24-10-2014 - 14:56

[kevotinh2802]

Ta có : $1=d_1\ <\ d_2\ <\ d_3\ <\ d_4\ <\ d_5\ <\ d_6\ <\ d_7=\frac{n}{d_6}\ <\ d_8=\frac{n}{d_5}\ <\ d_9$$=\frac{n}{d_4}\ <\ d_{10}=\frac{n}{d_3}\ <\ d_{11}=\frac{n}{d_2}\ <\ d_{12}=n$

Ta có $d_8<d_{d_4}=(1+d_2+d_4)d_8\le d_{12}\Rightarrow 9\le d_4\le12$.

$\boxed{}$ $d_4=9$ thì $n\ \vdots\ 1;3;9$ $\Rightarrow d_2=3$ hoặc $d_3=3$

• nếu $d_2=3$ thì (*) $\Rightarrow\frac{n}{9}=13.\frac{n}{d_5}$$\Rightarrow d_5=9.13$$\Rightarrow n\ \vdots\ 13$ mà $d_4<13<d_5$ (Mâu thuẫn).
• nếu $d_3=3$ thì $d_2=2$ và (*) $\Rightarrow\frac{n}{9}=12.\frac{n}{d_5}$$\Rightarrow d_5=9.12$$\Rightarrow n\ \vdots\ 12$ mà $d_4<12<d_5$ (Mâu thuẫn).

$\boxed{}$ $d_4=10$ thì $n\ \vdots\ 1;2;5;10$ $\Rightarrow d_2=2;\ d_3=5$ và (*) $\Rightarrow\frac{n}{5}=13.\frac{n}{d_5}$$\Rightarrow d_5=5.13$$\Rightarrow n\ \vdots\ 13$ mà $d_4<13<d_5$ (Mâu thuẫn)

$\boxed{}$ $d_4=11$ thì (*) $\Rightarrow d_2(d_2+12)=d_5$ $\Rightarrow n\ \vdots\ (d_2+12)$ mà $d_4<(d_2+12)<d_5$ (Mâu thuẫn)

$\boxed{}$ $d_4=12$ thì $n\ \vdots\ 1;2;3;4;6;12$ (Mâu thuẫn)

 

Vậy không tồn tại số $n$ thoả ycbt.

 

------------------------------------------------------------------------------

Mình thấy bài này quen quen, hình như giống đề thi học sinh giỏi toán năm nào đó (ko rõ lắm), mình cũng đã có up bài giải qua trên 4rum, nhưng nhớ là lúc đó giải ra có nghiệm. Sao giờ giải ra ko có $n$ cũng thấy kì kì. Nhưng mà kiểm tra kĩ ko thấy có vấn đề chỗ nào. Hay là đề sai ??

Mình cũng ko hiểu đề này lắm, bạn giải thích giúp mình với, Cái chỗ " $d_4<d_8$ thì mình nghĩ $d_d_4$ phải nhỏ hơn $d_8$ chứ, sao lại có cái đẳng thức kia nhể?

[Kool LL]

Mình cũng ko hiểu đề này lắm, bạn giải thích giúp mình với, Cái chỗ " $d_4<d_8$ thì mình nghĩ $d_{d_4}$ phải nhỏ hơn $d_8$ chứ, sao lại có cái đẳng thức kia nhể?

 

* Viết $d_{d_4}$ thì hiểu $d_{d_4}$ cũng là một ước của $n$ với $d_4$ lúc này là một chỉ số

* Mặt khác do $d_{d_4}=(d_1+d_2+d_4)d_8=d_8+(d_2+d_4)d_8>d_8$ nên $d_{d_4}$ là ước lớn hơn $d_8$ và tối đa là $d_{12}$. Do đó $d_{d_4}$ là một trong các ước từ $d_9$ đến $d_{12}$