Giả sử a, b, c là các số thực không âm có tổng bằng 1.
Chứng minh rằng: $\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}\geq 8\left ( a^{2} +b^{2}+c^{2}\right )$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 21-04-2015 - 12:48
Giả sử a, b, c là các số thực không âm có tổng bằng 1.
Chứng minh rằng: $\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}\geq 8\left ( a^{2} +b^{2}+c^{2}\right )$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 21-04-2015 - 12:48
Giả sử a, b, c là các số thực không âm có tổng bằng 1.
Chứng minh rằng: $\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}\geq 8\left ( a^{2} +b^{2}+c^{2}\right )$
Đặt $t=ab+bc+ca$
Khi đó $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=t^2-2abc(a+b+c)\leqslant t^2$
$\Rightarrow \frac{ab+bc+ca}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\geqslant \frac{1}{t}$ và $8(a^2+b^2+c^2)=8(1-2t)$
Do đó ta chỉ cần chứng minh
$\frac{1}{t}\geqslant 8(1-2t)\Leftrightarrow (4t-1)^2\geqslant 0$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a+b+c=1\\abc=0 \\t=ab+bc+ca=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.$
Giả sử a, b, c là các số thực không âm có tổng bằng 1.
Chứng minh rằng: $\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}\geq 8\left ( a^{2} +b^{2}+c^{2}\right )$
Ta có: $\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}\geq \frac{ab+bc+ca}{(ab+bc+ca)^{2}}=\frac{1}{ab+bc+ca}$
cần chứng minh $\frac{1}{ab+bc+ca}\geq 8(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
<=> $4(a^{2}+b^{2}+c^{2})(2ab+2bc+2ca)\leq 1$
Áp dụng Cauchy ta được $VT\leq (a+b+c)^{4}=1$
=> Điều phải chứng minh
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$P= \sum\frac{1}{a^{2}+b^{2}} -\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{12abc}$Bắt đầu bởi katcong, 31-05-2023 toanhoc, batdangthuc, cuctri và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\geq 1+\frac{(b-c)^{2}}{3(b+c)^{2}}$Bắt đầu bởi Sangnguyen3, 16-04-2022 batdangthuc |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{2}{\prod (1+a)}\geq 1$Bắt đầu bởi Le Tuan Canhh, 28-02-2022 batdangthuc |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm min của $S=\frac{1}{ab}+ab$Bắt đầu bởi Skai, 11-09-2021 batdangthuc |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Bất đẳng thức AM-GMBắt đầu bởi Skai, 11-09-2021 batdangthuc |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh