Chủ đề này có 1 trả lời

[kevotinh2802]

Cho a,b,c >0 và ab+bc+ca$\leq$3abc. Tìm GTLN của biểu thức sau: $P=\frac{1}{2b^3+c^3+6}+\frac{1}{2c^3+a^3+6}+\frac{1}{2a^3+b^3+6}$

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 13-05-2015 - 12:19

[the man]

Cho a,b,c >0 và ab+bc+ca$\leq$3abc. Tìm GTLN của biểu thức sau: $P=\frac{1}{2b^3+c^3+6}+\frac{1}{2c^3+a^3+6}+\frac{1}{2a^3+b^3+6}$

 

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

Áp dụng AM-GM:

  $3abc\geq ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\geq 1$

  $\frac{1}{b^3+b^3+c^3+6}\leq \frac{1}{3b^2c+6}=\frac{1}{3}.\frac{1}{b^2c+2}=\frac{1}{3}.\frac{a}   {ab^2c+2a}\leq \frac{1}{3}. \frac{a}{b+2a}=\frac{1}{6} \left ( 1-\frac{b}{b+2a} \right )$

Tương tự với các biểu thức còn lại rồi cộng lại ta được :

  $P\leq \frac{1}{6}\left ( 3-\frac{b}{b+2a}+\frac{c}{c+2b}+\frac{a}{a+2c} \right )\leq \frac{1}{6}\left [   3-\frac{(a+b+c)^2}{b^2+2ab+c^2+2bc+a^2+2ac} \right ]=\frac{1}{3}$

$Min P=\frac{1}{3} \Leftrightarrow a=b=c=1$