Cho dãy số: $\qquad u_n=\sum_{k=0}^{2n} \frac{1}{n^2+k}\qquad (n=1,2,...)$
Tính tổng: $ \quad S_n=\sum_{k=1}^n \left\lfloor\frac{2}{u_k}\right\rfloor $
Cho dãy số: $\qquad u_n=\sum_{k=0}^{2n} \frac{1}{n^2+k}\qquad (n=1,2,...)$
Tính tổng: $ \quad S_n=\sum_{k=1}^n \left\lfloor\frac{2}{u_k}\right\rfloor $
Cho dãy số: $\qquad u_n=\sum_{k=0}^{2n} \frac{1}{n^2+k}\qquad (n=1,2,...)$
Tính tổng: $ \quad S_n=\sum_{k=1}^n \left\lfloor\frac{2}{u_k}\right\rfloor $
Bài toán mới nhìn vào có vẻ hơi đáng sợ nhưng bình tĩnh một chút đánh giá khách quan thì kiểu toán này chỉ có cách chặn 2 đầu thôi.
Ta có:
$$ \sum_{k=0}^{2n}\frac{1}{n^2}>u_n=\sum_{k=0}^{2n} \frac{1}{n^2+k}>\sum_{k=0}^{2n}\frac{1}{(n+1)^2} \Rightarrow \frac{2n+1}{n^2}>u_n>\frac{2n+1}{(n+1)^2}$$
Tuy nhiên đến đây mà chia 2 lật ngược lại thì chưa đạt được điều ta mong muốn, bây giờ ta cần một điều chặt hơn một chút là
$$ \frac{2n}{n^2}>u_n>\frac{2n+2}{(n+1)^2}$$
Tức là ta cần một tổng $i+1$ số hạng trong sigma biểu diễn $u_n$ có tổng bé hơn $\frac{i}{n^2}$ tức là $i+1$ số này đều không nhỏ hơn $\frac{i+1}{i}.n^2$, tự nhiên ta thử với $i=n$ thì đúng luôn chọn các số từ $n(n+1)$ đến $n(n+2)$. Như vậy ta viết lại $u_n$
$$ u_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n^2+k}+\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{n^2+k}<n.\frac{1}{n^2}+(n+1).\frac{1}{n(n+1)}=\frac{2}{n}$$
$$ u_n=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n^2+k}+\sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{n^2+k}>n.\frac{1}{n(n+1)}+(n+1).\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{2}{n+1}$$
Do vậy $n<\frac{2}{u_n}<n+1$
Suy ra $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh