Chủ đề này có 5 trả lời

[hxthanh]

$\newcommand{fl}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$

Với $n$ là số nguyên dương cho trước. $\fl x$ là hàm phần nguyên - Floor function

Tìm giới hạn sau:

$$L=\lim\limits_{x\to n^-} \fl{x^2\fl{x^2\fl{x^2}}}$$

[Thegooobs]

$\newcommand{fl}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$

Với $n$ là số nguyên dương cho trước. $\fl x$ là hàm phần nguyên - Floor function

Tìm giới hạn sau:

$$L=\lim\limits_{x\to n^-} \fl{x^2\fl{x^2\fl{x^2}}}$$

Trước khi giải thì mình muốn chia sẻ một điều khá thú vị về hàm $\left\lfloor x \right\rfloor$ là nó còn có tên là hàm số nguyên lớn nhất chắc có lẽ là do định nghĩa của nó $\left\lfloor x \right\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$ đôi khi người ta còn kí hiệu đó là $\left[x\right]$. Nhưng có lẽ kí hiệu $\left\lfloor x \right\rfloor$ là hợp lí nhất nó giúp phân biệt với hàm $\left\lceil x \right\rceil$. Dù không hiểu biết nhiều về hàm $\text{floor}$, đó là một số điều mình thấy rất hay về hàm $\text{floor}$ một hàm số rất thú vị.

Bây giờ vào việc giải bài này thôi

Ta sẽ sử dụng tính chất sau trong bài giải:

Mệnh đề

Với mọi số nguyên $n$ ta đều đó $\left\lfloor x \right\rfloor = n, \forall x \in (n,n+1)$

Gọi giới hạn cần tính là $\ell$

Đổi biến $x^2=y \Rightarrow y \to \lim_{x \to n^-}x^2=(n^2)^-=m^-$ với $m=n^2$ và khi đó

$$\ell=\lim_{y \to m^-}\fl{y\fl{y\fl{y}}}=\lim_{y \to m^-}\fl{y\fl{y(m-1)}}$$

Khi $m=1$ dễ thấy $\ell =0$ 

Khi $m \ne 1$ ta đặt $z=y(m-1) \Rightarrow z \to \lim_{x \to m^-}y(m-1)=[m(m-1)]^-$ và ta có

$$\ell=\lim_{z \to [m(m-1)]^-}\fl{\frac{z}{m-1}\fl{z}}=\lim_{z \to [m(m-1)]^-}\fl{\frac{z}{m-1}[(m(m-1)-1]}=\lim_{z \to [m(m-1)]^-}\fl{\frac{m^2-m-1}{m-1}z}$$

Làm một bài toán nhỏ là tìm giới hạn của 

$$\lim_{x \to n^-}\fl{kx}, (k \ne 0, n \in \mathbb{Z})$$ và nhận được

$$\lim_{x \to n^-}\fl{kx}=\begin{cases} \fl{kn} \ \ \text{nếu} \ \ kn \not \in \mathbb{Z} \\ \begin{cases} kn-1\ \ \text{nếu} \ \ k>0 \\ kn\ \text{nếu} \ \ k<0 \end{cases}, kn\in \mathbb{Z} \end{cases}$$

Với $n=m(m-1)$ và $k=\frac{m^2-m-1}{m-1}$ thì $k>0$ và $kn \in \mathbb{Z}$ nên

$$\ell = m^3-m^2-m-1=n^6-n^4-n^2-1$$

Vậy 

$$\ell= \begin{cases} 0 \ \ \text{nếu} \ \  n=1 \\ n^6-n^4-n^2-1 \ \ \text{nếu} \ \ n \ne 1\end{cases}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 16-04-2024 - 22:19

[Konstante]

Mình lập luận thế này: $$\lfloor x^2 \rfloor \xrightarrow[x \to n^{-}]{} n^2-1$$Nếu $n=1$ thì giới hạn cuối cùng bằng $0$, còn nếu $n > 1$ thì $$\lfloor x^2 \lfloor x^2 \rfloor \rfloor \xrightarrow[x \to n^{-}]{} n^2(n^2-1) - 1$$ bởi vì $x^2 \lfloor x^2 \rfloor$ tiến gần bên trái một cách tùy ý đến $n^2(n^2-1)$. Tiếp tục như vậy$$\lfloor x^2 \lfloor x^2 \lfloor x^2 \rfloor \rfloor \rfloor \xrightarrow[x \to n^{-}]{} n^2\left(n^2\left(n^2-1\right) - 1\right)-1$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 16-04-2024 - 22:23

[literallyme]

Em dựa trên lập luận của anh @Konstante để viết một lời giải đầy đủ. Lập luận của anh @Konstante là cơ sở để em có ba bất đẳng thức (a), (b), (c) như bên dưới nhằm đưa đến lời giải đầy đủ mà vẫn rõ ràng.

____

 

Nếu $n = 1$ thì chỉ cần xét đến $x$ trong khoảng $(0, 1)$ (vì giới hạn của hàm số có tính "địa phương"). Trong khoảng này, có thể trực tiếp tính $\left\lfloor x^{2}\left\lfloor x^{2}\left\lfloor x^{2}\right\rfloor\right\rfloor\right\rfloor$. Cụ thể là $\left\lfloor x^{2}\left\lfloor x^{2}\left\lfloor x^{2}\right\rfloor\right\rfloor\right\rfloor = \left\lfloor x^{2}\left\lfloor x^{2}\cdot 0\right\rfloor\right\rfloor = \left\lfloor x^{2}\cdot 0\right\rfloor = 0$.

Do đó

$$\lim\limits_{x\to 1^{-}}\left\lfloor x^{2}\left\lfloor x^{2}\left\lfloor x^{2}\right\rfloor\right\rfloor\right\rfloor = 0$$

 

Nếu $n > 1$

Để cho (a) $n^{2} - 1\leq x^{2} < n^{2}$ thì chọn $n > x \geq \sqrt{n^{2} - 1}$ là được (không cần thiết phải tìm hết mọi miền giá trị có thể của $x$).

Để cho (b) $n^{2}(n^{2} - 1) - 1\leq x^{2}(n^{2} - 1) < n^{2}(n^{2} - 1)$ thì chọn $n > x \geq \sqrt{n^{2} - \frac{1}{n^{2} - 1}}$ là được.

Để cho (c) $n^{2}(n^{2}(n^{2} - 1) - 1) - 1\leq x^{2}(n^{2}(n^{2} - 1) - 1) < n^{2}(n^{2}(n^{2} - 1) - 1) $ thì chọn $n > x \geq \sqrt{n^{2} - \frac{1}{n^{2}(n^{2} - 1) - 1}}$ là được.

Vì

$$\sqrt{n^{2} - \frac{1}{n^{2}(n^{2} - 1) - 1}} > \sqrt{n^{2} - \frac{1}{n^{2} - 1}} > \sqrt{n^{2} - 1}$$

nên nếu chọn $n > x > \sqrt{n^{2} - \frac{1}{n^{2}(n^{2} - 1) - 1}}$ thì cả ba bất đẳng thức (a), (b), (c) đều được thỏa mãn. Tiếp tục, với $x$ sao cho $n > x > \sqrt{n^{2} - \frac{1}{n^{2}(n^{2} - 1) - 1}}$, và theo ba bất đẳng thức (a), (b), (c) cùng định nghĩa hàm phần nguyên dưới, chúng ta tính được $\left\lfloor x^{2}\left\lfloor x^{2}\left\lfloor x^{2}\right\rfloor\right\rfloor\right\rfloor = n^{2}(n^{2}(n^{2} - 1) - 1) - 1$.

____

 

Một cách cứng nhắc, trong bài toán này, em muốn có một lời giải theo kiểu $\varepsilon - \delta$.

 

Lời giải.

 

Nếu $n = 1$ thì giới hạn cần tìm bằng $0$ (đã lập luận ở trên).

Còn nếu $n > 1$, chúng ta làm như sau.

Với $\varepsilon > 0$ bất kỳ, chọn $\delta = n - \sqrt{n^{2} - \frac{1}{n^{2}(n^{2} - 1) - 1}}$. Với mọi $x$, nếu $0 < n - x < \delta$ thì

$$\left\vert\left\lfloor x^{2}\left\lfloor x^{2}\left\lfloor x^{2}\right\rfloor\right\rfloor\right\rfloor - (n^{2}(n^{2}(n^{2} - 1) - 1) - 1)\right\vert = 0 < \varepsilon$$.

Theo định nghĩa giới hạn hàm số (từ bên trái), chúng ta kết luận $\lim\limits_{x\to n^{-}}\left\lfloor x^{2}\left\lfloor x^{2}\left\lfloor x^{2}\right\rfloor\right\rfloor\right\rfloor = n^{2}(n^{2}(n^{2} - 1) - 1) - 1$. $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi literallyme: 18-04-2024 - 17:41

[Thegooobs]

Mình rất thích câu trả lời của @literallyme đặc biệt là phần sử dụng ngôn ngữ $\varepsilon - \delta$. Nhưng mà mình nghĩ là nên sử dụng phát biểu $\forall x, n-\delta<x<n$ thay cho chỗ $\forall x, 0<n-x<\delta$ bởi vì nó chỉ ra cụ thể rằng ta đang xét $x$ trong một lân cận trái của $n$ là $(n-\delta,n)$ nhưng dù sau thì 2 phát biểu này đều tương đương.

Và có một câu hỏi đó là có thể mở rộng bài này cho số nguyên $n$ bất kì không ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 18-04-2024 - 21:05

[literallyme]

Mình rất thích câu trả lời của @literallyme đặc biệt là phần sử dụng ngôn ngữ $\varepsilon - \delta$. Nhưng mà mình nghĩ là nên sử dụng phát biểu $\forall x, n-\delta<x<n$ thay cho chỗ $\forall x, 0<n-x<\delta$ bởi vì nó chỉ ra cụ thể rằng ta đang xét $x$ trong một lân cận trái của $n$ là $(n-\delta,n)$ nhưng dù sau thì 2 phát biểu này đều tương đương.

Và có một câu hỏi đó là có thể mở rộng bài này cho số nguyên $n$ bất kì không ?

Đó là thói quen của mình khi viết về giới hạn một phía.

Còn về câu hỏi bạn tiếp tục đặt, mình sẽ trả lời luôn: trường hợp $n\leq 0$.

 

Trường hợp $n = 0$. Chúng ta chọn lân cận trái $(-1, 0)$. Khi $x\in (-1, 0)$ thì $0 < x^{2} < 1$ và $\left\lfloor x^{2}\left\lfloor x^{2} \left\lfloor x^{2}\right\rfloor\right\rfloor\right\rfloor = \left\lfloor x^{2}\left\lfloor x^{2} \cdot 0\right\rfloor\right\rfloor = \left\lfloor x^{2}\cdot 0\right\rfloor = 0$

 

Trường hợp $n < 0$. Vì $x < n < 0$ nên $n^{2} < x^{2}$.

Để $n^{2} < x^{2} < n^{2} + 1$, chúng ta chọn $-\sqrt{n^{2} + 1} < x < n$.

Để $n^{4} < x^{2}n^{2} < n^{4} + 1$, chúng ta chọn $-\sqrt{n^{2} + \frac{1}{n^{2}}} < x < n$.

Để $n^{6} < x^{2}n^{4} < n^{6} + 1$, chúng ta chọn $-\sqrt{n^{2} + \frac{1}{n^{4}}} < x < n$.

Nếu $x\in \left(-\sqrt{n^{2} + \frac{1}{n^{4}}}, n\right)$ thì $x$ cũng thuộc $\left(-\sqrt{n^{2} + \frac{1}{n^{2}}}, n\right)$ và $\left(-\sqrt{n^{2} + 1}, n\right)$, và chúng ta tiếp tục tính dựa theo định nghĩa hàm phần nguyên dưới: $\left\lfloor x^{2}\left\lfloor x^{2} \left\lfloor x^{2}\right\rfloor\right\rfloor\right\rfloor = \left\lfloor x^{2}\left\lfloor x^{2} n^{2}\right\rfloor\right\rfloor = \left\lfloor x^{2}n^{4}\right\rfloor = n^{6}$ và thu được giới hạn khi $n$ nguyên âm là $n^{6}$.

 

Bài toán này vẫn dễ thở vì hàm $x\mapsto x^{2}$ đủ đơn giản và đơn điệu trên từng miền âm, miền dương (như vậy việc dùng bất đăng thức mới thuận tiện như trên). Có thể tiếp tục tính giới hạn trong trường hợp $n$ là số hữu tỉ không nguyên, số vô tỉ. Nhưng mình sẽ dừng lại tại đây và đọc sách tiếp, mình khuyên bạn làm điều tương tự!