Chủ đề này có 4 trả lời

[Capture]

Xác định tất cả các số nguyên n lớn hơn 1 sao cho $\frac{2^{n}+1}{n^{2}}$ là một số nguyên

[the man]

Xác định tất cả các số nguyên n lớn hơn 1 sao cho $\frac{2^{n}+1}{n^{2}}$ là một số nguyên

Đây là bài trong đề thi Vô địch Toán Quốc tế 1990 nên nó rất hay và không dễ

Mình đã tìm được lời giải rồi nhưng nó khá dài, lúc nào rảnh mình sẽ post lên cho mọi người xem   

[Capture]

lời giải dài 2 trang 

[Belphegor Varia]

Lời giải mình tìm được cũng không dài lắm , post nhé  :

Lời giải :

 

$\blacklozenge$ Với $n=1$,thỏa mãn. Xét $n>1$ $\Rightarrow n$ lẻ. Giả sử $p>3$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$. Khi đó $(n,p-1)=1$ $\Rightarrow (2n,p-1)=2$và theo giả thiết thì $p|2^n+1|2^{2n}-1$ . Theo Fermat nhỏ ta có $p|2^{p-1}-1$. Suy ra $p|2^{(2n,p-1)}-1$ , Tìm được $p=3$ . Đặt $n=3^{k}d$ (với $(d,3)=1$ )

 

$\blacklozenge$ Ta có nhận xét sau : Nếu $2^{m}-1$ chia hết cho $3^{r}$ thì $m$ chia hết cho $3^{r-1}$
Chứng minh : Ta có 2 là căn nguyên thủy của $3^{r}$ , khi đó $ord_{3^r}2=\varphi (3^r)=2.3^{r-1}$ . Khi đó $3^{r-1}|m$

 

$\blacklozenge$ Áp dụng vào bài toán : ta có $3^{2k}|n^2|2^{2n}-1$ $\Rightarrow 2n\vdots 3^{2k-1}\Rightarrow 2.3^k.d \vdots 3^{2k-1}\Rightarrow k=1$

 

$\blacklozenge$ Giả sử $d>1$, $q$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $d$, khi đó $q>5$ và $(n,q-1)|3$

                           Ta có $q|2^{2n}-1$, $q|2^{q-1}-1$ suy ra $q|2^{(2n,q-1)}|2^6-1$. Do đó $q=7$ $\Rightarrow 7|n|2^n+1$ . Lại có $2^n+1\equiv 2,3,5(\mod 7)$ (mâu thuẫn) . Vậy $d=1,n=3$ thỏa mãn .

                          Đáp số : $n=1,3$ $\square$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 06-07-2015 - 19:12

[NhatTruong2405]

Lời giải mình tìm được cũng không dài lắm , post nhé  :

Lời giải :

 

$\blacklozenge$ Với $n=1$,thỏa mãn. Xét $n>1$ $\Rightarrow n$ lẻ. Giả sử $p>3$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$. Khi đó $(n,p-1)=1$ $\Rightarrow (2n,p-1)=2$và theo giả thiết thì $p|2^n+1|2^{2n}-1$ . Theo Fermat nhỏ ta có $p|2^{p-1}-1$. Suy ra $p|2^{(2n,p-1)}-1$ , Tìm được $p=3$ . Đặt $n=3^{k}d$ (với $(d,3)=1 )

 

$\blacklozenge$ Ta có nhận xét sau : Nếu $2^{m}-1$ chia hết cho $3^{r}$ thì $m$ chia hết cho 3^{r-1}
Chứng minh : Ta có 2 là căn nguyên thủy của 3^{r} , khi đó $ord_{3^r}2=\varphi (3^r)=2.3^{r-1}$ . Khi đó $3^{r-1}|m

 

$\blacklozenge$ Áp dụng vào bài toán : ta có $3^{2k}|n^2|2^{2n}-1$ $\Rightarrow 2n\vdots 3^{2k-1}\Rightarrow 2.3^k.d \vdots 3^{2k-1}\Rightarrow k=1$

 

$\blacklozenge$ Giả sử $d>1$, $q$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $d$, khi đó $q>5$ và $(n,q-1)|3$

                           Ta có $q|2^{2n}-1$, $q|2^{q-1}-1$ suy ra $q|2^{(2n,q-1)}|2^6-1$. Do đó $q=7$ $\Rightarrow 7|n|2^n+1$ . Lại có $2^n+1\equiv 2,3,5(\mod 7)$ (mâu thuẫn) . Vậy $d=1,n=3$ thỏa mãn .

                          Đáp số : $n=1,3$ $\square$ 

Vì đề bài là n>1 nên chỉ nhận nghiệm n=3 thôi bạn Nhưng bạn làm được là quá hay