Xác định tất cả các số nguyên n lớn hơn 1 sao cho $\frac{2^{n}+1}{n^{2}}$ là một số nguyên
#1
Đã gửi 27-06-2015 - 21:13
#2
Đã gửi 30-06-2015 - 14:34
Xác định tất cả các số nguyên n lớn hơn 1 sao cho $\frac{2^{n}+1}{n^{2}}$ là một số nguyên
Đây là bài trong đề thi Vô địch Toán Quốc tế 1990 nên nó rất hay và không dễ
Mình đã tìm được lời giải rồi nhưng nó khá dài, lúc nào rảnh mình sẽ post lên cho mọi người xem
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
#3
Đã gửi 30-06-2015 - 15:04
lời giải dài 2 trang
#4
Đã gửi 06-07-2015 - 18:41
Lời giải mình tìm được cũng không dài lắm , post nhé :
Lời giải :
$\blacklozenge$ Với $n=1$,thỏa mãn. Xét $n>1$ $\Rightarrow n$ lẻ. Giả sử $p>3$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$. Khi đó $(n,p-1)=1$ $\Rightarrow (2n,p-1)=2$và theo giả thiết thì $p|2^n+1|2^{2n}-1$ . Theo Fermat nhỏ ta có $p|2^{p-1}-1$. Suy ra $p|2^{(2n,p-1)}-1$ , Tìm được $p=3$ . Đặt $n=3^{k}d$ (với $(d,3)=1$ )
$\blacklozenge$ Ta có nhận xét sau : Nếu $2^{m}-1$ chia hết cho $3^{r}$ thì $m$ chia hết cho $3^{r-1}$
Chứng minh : Ta có 2 là căn nguyên thủy của $3^{r}$ , khi đó $ord_{3^r}2=\varphi (3^r)=2.3^{r-1}$ . Khi đó $3^{r-1}|m$
$\blacklozenge$ Áp dụng vào bài toán : ta có $3^{2k}|n^2|2^{2n}-1$ $\Rightarrow 2n\vdots 3^{2k-1}\Rightarrow 2.3^k.d \vdots 3^{2k-1}\Rightarrow k=1$
$\blacklozenge$ Giả sử $d>1$, $q$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $d$, khi đó $q>5$ và $(n,q-1)|3$
Ta có $q|2^{2n}-1$, $q|2^{q-1}-1$ suy ra $q|2^{(2n,q-1)}|2^6-1$. Do đó $q=7$ $\Rightarrow 7|n|2^n+1$ . Lại có $2^n+1\equiv 2,3,5(\mod 7)$ (mâu thuẫn) . Vậy $d=1,n=3$ thỏa mãn .
Đáp số : $n=1,3$ $\square$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 06-07-2015 - 19:12
- Zaraki, dogsteven, nhungvienkimcuong và 6 người khác yêu thích
$ \textbf{NMQ}$
Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come
Just take off her or give me a ride
Give me one day or one hour or just one minute for a short word
#5
Đã gửi 06-07-2015 - 19:07
Lời giải mình tìm được cũng không dài lắm , post nhé :
Lời giải :
$\blacklozenge$ Với $n=1$,thỏa mãn. Xét $n>1$ $\Rightarrow n$ lẻ. Giả sử $p>3$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$. Khi đó $(n,p-1)=1$ $\Rightarrow (2n,p-1)=2$và theo giả thiết thì $p|2^n+1|2^{2n}-1$ . Theo Fermat nhỏ ta có $p|2^{p-1}-1$. Suy ra $p|2^{(2n,p-1)}-1$ , Tìm được $p=3$ . Đặt $n=3^{k}d$ (với $(d,3)=1 )
$\blacklozenge$ Ta có nhận xét sau : Nếu $2^{m}-1$ chia hết cho $3^{r}$ thì $m$ chia hết cho 3^{r-1}
Chứng minh : Ta có 2 là căn nguyên thủy của 3^{r} , khi đó $ord_{3^r}2=\varphi (3^r)=2.3^{r-1}$ . Khi đó $3^{r-1}|m
$\blacklozenge$ Áp dụng vào bài toán : ta có $3^{2k}|n^2|2^{2n}-1$ $\Rightarrow 2n\vdots 3^{2k-1}\Rightarrow 2.3^k.d \vdots 3^{2k-1}\Rightarrow k=1$
$\blacklozenge$ Giả sử $d>1$, $q$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $d$, khi đó $q>5$ và $(n,q-1)|3$
Ta có $q|2^{2n}-1$, $q|2^{q-1}-1$ suy ra $q|2^{(2n,q-1)}|2^6-1$. Do đó $q=7$ $\Rightarrow 7|n|2^n+1$ . Lại có $2^n+1\equiv 2,3,5(\mod 7)$ (mâu thuẫn) . Vậy $d=1,n=3$ thỏa mãn .
Đáp số : $n=1,3$ $\square$
Vì đề bài là n>1 nên chỉ nhận nghiệm n=3 thôi bạn Nhưng bạn làm được là quá hay
- Belphegor Varia yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$x^n+n \vdots p^m$Bắt đầu bởi trinhgiahuy2008, 15-01-2024 số học |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh