Chủ đề này có 10 trả lời

[Capture]

Cho 3 số thực dương a, b, c có tích bằng 1. CMR:

$(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Capture: 06-07-2015 - 07:57

[an1712]

Cho 3 số thực dương a, b, c có tích bằng 1. CMR:

$(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})\leq 1$

đặt $a=\frac{x}{y}$ $ b=\frac{y}{z} $ $ c=\frac{z}{x}$

$\Leftrightarrow$ $\prod (x-y+z)\leq xyz$

theo cô si:

$\sqrt{(x-y+z)(x-z+y)}\leq \frac{2x}{2}=x$

tương tự ta có đpcm

[dogsteven]

đặt $a=\frac{x}{y}$ $ b=\frac{y}{z} $ $ c=\frac{z}{x}$

$\Leftrightarrow$ $\prod (x-y+z)\leq xyz$

theo cô si:

$\sqrt{(x-y+z)(x-z+y)}\leq \frac{2x}{2}=x$

tương tự ta có đpcm

Chưa chắc biểu thức trong căn đã dương.

Xét $\prod (y+z-x)\leqslant 0$ thì bất đẳng thức đúng.

Xét $\prod (y+z-x)\geqslant 0$ thì $x,y,z$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Khi đó AM-GM như trên.

[Truong Gia Bao]

Cho 3 số thực dương a, b, c có tích bằng 1. CMR:

$(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})\leq 1$

Cái này là đi sưu tầm:

Cách 1+ cách 2:

Cách 3:

Cách 4:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Truong Gia Bao: 10-07-2015 - 17:44

[Capture]

Còn cách nữa :

Ta có: $a-1+\frac{1}{b}=a(1-\frac{1}{a}+\frac{1}{ab})=a(1-\frac{1}{a}+c)$ (vì abc=1)

Khi đó: $(a-1+\frac{1}{b})(c-1+\frac{1}{a})=a(1-\frac{1}{a}+c)(c-1+\frac{1}{a})=a[c^{2}+(1-\frac{1}{a})^{2}]\leq ac^{2}$

Làm tương tự, sau đó nhân theo vế ta có:

$[\sum(a-1+\frac{1}{b})]^{2}\leq ac^{2}ba^{2}cb^{2}=1$ 

Từ đây suy ra đpcm

[an1712]

Chưa chắc biểu thức trong căn đã dương.

Xét $\prod (y+z-x)\leqslant 0$ thì bất đẳng thức đúng.

Xét $\prod (y+z-x)\geqslant 0$ thì $x,y,z$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Khi đó AM-GM như trên.

uh,chưa đọc kĩ, vậy áp dụng tn

$(x+y-z)(x+z-y)\leq \frac{4x^2}{4}=x^2$

tương tự đc:

$\prod (x+y-z)^2\leq x^2y^2z^2$

$\Leftrightarrow \left | \prod (x+y-z) \right |\leq \left | xyz \right |$

$\Leftrightarrow xyz=\left | xyz \right |\geq \prod (x+y-z)$ do x,y,z dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi an1712: 06-07-2015 - 17:22

[arsfanfc]

Cho 3 số thực dương a, b, c có tích bằng 1. CMR:

$(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})\leq 1$

$(a,b,c)-> (x^3,y^3,z^3)$

BĐT$<=> \prod (x^3-xyz+xz^2) \leq \prod x^3$

$<=> 3\prod x^3+\sum x^6y^3 \geq \sum x^4y^4z+\sum x^5y^2z^2$

$<=>3\prod x^2y + \sum (x^2y)^3 \geq(x^2y)^2(y^2z)$

$<=> \sum x^4(x-y)(x-z) \geq 0$

Đúng theo schur

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsfanfc: 06-07-2015 - 17:38

[Hoang Tung 126]

Bài này đã nằm trong đề thi Toán Quốc Tế thì phải

[binhnhaukhong]

Ta còn có kết quả:

 

$(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})\leq \frac{4}{\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+1}$ với cùng điều kiện 

[Capture]

Bài này đã nằm trong đề thi Toán Quốc Tế thì phải

IMO 2000 đó ạ

[Hoang Tung 126]

IMO 2000 đó ạ

 Thảo nào nhìn qua quen quen