Cho 3 số thực dương a, b, c có tích bằng 1. CMR:
$(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})\leq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Capture: 06-07-2015 - 07:57
Cho 3 số thực dương a, b, c có tích bằng 1. CMR:
$(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})\leq 1$
đặt $a=\frac{x}{y}$ $ b=\frac{y}{z} $ $ c=\frac{z}{x}$
$\Leftrightarrow$ $\prod (x-y+z)\leq xyz$
theo cô si:
$\sqrt{(x-y+z)(x-z+y)}\leq \frac{2x}{2}=x$
tương tự ta có đpcm
tiến tới thành công
đặt $a=\frac{x}{y}$ $ b=\frac{y}{z} $ $ c=\frac{z}{x}$
$\Leftrightarrow$ $\prod (x-y+z)\leq xyz$
theo cô si:
$\sqrt{(x-y+z)(x-z+y)}\leq \frac{2x}{2}=x$
tương tự ta có đpcm
Chưa chắc biểu thức trong căn đã dương.
Xét $\prod (y+z-x)\leqslant 0$ thì bất đẳng thức đúng.
Xét $\prod (y+z-x)\geqslant 0$ thì $x,y,z$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Khi đó AM-GM như trên.
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Cho 3 số thực dương a, b, c có tích bằng 1. CMR:
$(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})\leq 1$
Cái này là đi sưu tầm:
Cách 1+ cách 2:
Cách 3:
Cách 4:
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Truong Gia Bao: 10-07-2015 - 17:44
Còn cách nữa :
Ta có: $a-1+\frac{1}{b}=a(1-\frac{1}{a}+\frac{1}{ab})=a(1-\frac{1}{a}+c)$ (vì abc=1)
Khi đó: $(a-1+\frac{1}{b})(c-1+\frac{1}{a})=a(1-\frac{1}{a}+c)(c-1+\frac{1}{a})=a[c^{2}+(1-\frac{1}{a})^{2}]\leq ac^{2}$
Làm tương tự, sau đó nhân theo vế ta có:
$[\sum(a-1+\frac{1}{b})]^{2}\leq ac^{2}ba^{2}cb^{2}=1$
Từ đây suy ra đpcm
Chưa chắc biểu thức trong căn đã dương.
Xét $\prod (y+z-x)\leqslant 0$ thì bất đẳng thức đúng.
Xét $\prod (y+z-x)\geqslant 0$ thì $x,y,z$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Khi đó AM-GM như trên.
uh,chưa đọc kĩ, vậy áp dụng tn
$(x+y-z)(x+z-y)\leq \frac{4x^2}{4}=x^2$
tương tự đc:
$\prod (x+y-z)^2\leq x^2y^2z^2$
$\Leftrightarrow \left | \prod (x+y-z) \right |\leq \left | xyz \right |$
$\Leftrightarrow xyz=\left | xyz \right |\geq \prod (x+y-z)$ do x,y,z dương
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi an1712: 06-07-2015 - 17:22
tiến tới thành công
Cho 3 số thực dương a, b, c có tích bằng 1. CMR:
$(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})\leq 1$
$(a,b,c)-> (x^3,y^3,z^3)$
BĐT$<=> \prod (x^3-xyz+xz^2) \leq \prod x^3$
$<=> 3\prod x^3+\sum x^6y^3 \geq \sum x^4y^4z+\sum x^5y^2z^2$
$<=>3\prod x^2y + \sum (x^2y)^3 \geq(x^2y)^2(y^2z)$
$<=> \sum x^4(x-y)(x-z) \geq 0$
Đúng theo schur
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi arsfanfc: 06-07-2015 - 17:38
~YÊU ~
Bài này đã nằm trong đề thi Toán Quốc Tế thì phải
Bài này đã nằm trong đề thi Toán Quốc Tế thì phải
IMO 2000 đó ạ
IMO 2000 đó ạ
Thảo nào nhìn qua quen quen
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh