Chủ đề này có 2 trả lời

[LzuTao]

Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh:

$3(a^3+b^3+c^3+3abc)\geq 3[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]$

[Nguyen Minh Hai]

Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh:

$3(a^3+b^3+c^3+3abc)\geq 3[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]$

Đây là BĐT Schur bậc 3 mà 

Giả sử: $a \geq b \geq c$

BĐT tương đương với:

$a(a-b)^2+c(b-c)^2+(a-b+c)(a-b)(b-c) \geq 0$      (luôn đúng)

[bvptdhv]

Bất đẳng thức cần chứng minh <=> $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc \geq a^{2}(b+c)+b^{2}(a+c)+c^{2}(a+b)$

Chứng minh được $(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)\leq abc$ với a,b,c dương (1)

~Nếu 3 bộ trên đều k âm ta có $-(b-c)^{2}\leq 0 <=>a^{2}-(b-c)^{2}\leq a^{2}<=>(a+b-c)(a+c-b)\leq a^{2}$

Tương tự mấy cái kia cũng vậy, nhân vào rồi khử mũ =>(1) đúng

~Nếu trong 3 bộ (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) có 1 bộ âm 

thì tích (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) < 0, mà a, b, c không âm 
=> (1) đúng 

Bạn biến đổi (1) là ra bđt ban đầu cần cm=>bđt đúng

Dấu = xra <=>$a=b;c=0$ và hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bvptdhv: 10-07-2015 - 10:59