3 replies to this topic

[microwavest]

Cho $a$,$b$,$c$ > $0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. chứng minh:

$\sum\dfrac{1}{4-\sqrt{ab}} \leq 1$

Edited by microwavest, 20-07-2015 - 19:36.

[Thao Huyen]

Cho $a$,$b$,$c$ > $0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. chứng minh:

$\sum\dfrac{1}{4-\sqrt{ab}} \leq 1$

Đây là 1 bài toán cực kì quen thuộc với:

$\sum a^4=3.Find_{Max}=\sum \frac{1}{4-ab}$

Lôi về tiếp tuyến :v

[Hoang Nhat Tuan]

Đây là 1 bài toán cực kì quen thuộc với:

$\sum a^4=3.Find_{Max}=\sum \frac{1}{4-ab}$

Lôi về tiếp tuyến :v

Chứng minh cụ thể đi bạn

Ta thấy: $\sum \frac{1}{4-ab}\leq \sum \frac{2}{8-(a^2+b^2)}$

Khi đó đặt: $x=(b^2+c^2)^2$ và y,z tương tự thì rút ra được:

$x+y+z\leq 4(a^4+b^4+c^4)=12$ (dễ chứng minh bằng AM-GM)

Đến đây sử dụng tiếp tuyến đơn giản rồi:

$\sum \frac{1}{8-\sqrt{x}}\leq \sum (\frac{1}{144}x+\frac{5}{36})$

Đến đây OK rồi

[Phuong Thu Quoc]

Đây là 1 bài toán cực kì quen thuộc với:

$\sum a^4=3.Find_{Max}=\sum \frac{1}{4-ab}$

Lôi về tiếp tuyến :v

" Cực kì quen thuộc" với bạn còn với các bạn khác thì chưa chắc!

Ta sẽ chứng minh BĐT tương đương như bạn nêu.

Có $3=a^{4}+b^{4}+c^{4}> a^{4}+b^{4}\geq 2a^{2}b^{2}\Rightarrow ab< \sqrt{\frac{3}{2}}$

$\frac{1}{4-ab}\leq \frac{a^{2}b^{2}+5}{18}\Leftrightarrow \left ( 2-ab \right )\left ( ab-1 \right )^{2}\geq 0$ đúng

Cộng thêm $\sum a^{2}b^{2}\leq \sum a^{4}$ 

Kết hợp tất cả..