Cho $a$,$b$,$c$ > $0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. chứng minh:
$\sum\dfrac{1}{4-\sqrt{ab}} \leq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi microwavest: 20-07-2015 - 19:36
Cho $a$,$b$,$c$ > $0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. chứng minh:
$\sum\dfrac{1}{4-\sqrt{ab}} \leq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi microwavest: 20-07-2015 - 19:36
Cho $a$,$b$,$c$ > $0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. chứng minh:
$\sum\dfrac{1}{4-\sqrt{ab}} \leq 1$
Đây là 1 bài toán cực kì quen thuộc với:
$\sum a^4=3.Find_{Max}=\sum \frac{1}{4-ab}$
Lôi về tiếp tuyến :v
Cuộc sống giống như một cuốn sách. Một vài chương khá buồn, một số chương hạnh phúc và một số chương rất thú vị. Nhưng nếu bạn chưa bao giờ lật thử một trang bạn sẽ không bao giờ biết những gì ở chương tiếp theo!
Đây là 1 bài toán cực kì quen thuộc với:
$\sum a^4=3.Find_{Max}=\sum \frac{1}{4-ab}$
Lôi về tiếp tuyến :v
Chứng minh cụ thể đi bạn
Ta thấy: $\sum \frac{1}{4-ab}\leq \sum \frac{2}{8-(a^2+b^2)}$
Khi đó đặt: $x=(b^2+c^2)^2$ và y,z tương tự thì rút ra được:
$x+y+z\leq 4(a^4+b^4+c^4)=12$ (dễ chứng minh bằng AM-GM)
Đến đây sử dụng tiếp tuyến đơn giản rồi:
$\sum \frac{1}{8-\sqrt{x}}\leq \sum (\frac{1}{144}x+\frac{5}{36})$
Đến đây OK rồi
Đây là 1 bài toán cực kì quen thuộc với:
$\sum a^4=3.Find_{Max}=\sum \frac{1}{4-ab}$
Lôi về tiếp tuyến :v
" Cực kì quen thuộc" với bạn còn với các bạn khác thì chưa chắc!
Ta sẽ chứng minh BĐT tương đương như bạn nêu.
Có $3=a^{4}+b^{4}+c^{4}> a^{4}+b^{4}\geq 2a^{2}b^{2}\Rightarrow ab< \sqrt{\frac{3}{2}}$
$\frac{1}{4-ab}\leq \frac{a^{2}b^{2}+5}{18}\Leftrightarrow \left ( 2-ab \right )\left ( ab-1 \right )^{2}\geq 0$ đúng
Cộng thêm $\sum a^{2}b^{2}\leq \sum a^{4}$
Kết hợp tất cả..
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh