Cho a+b+c=3, a,b,c >0. CMR: $\sum ab + \frac{1}{abc} \geq abc+3$
#1
Đã gửi 28-07-2015 - 15:46
Why So Serious ?
#2
Đã gửi 28-07-2015 - 15:52
ta có:$abc\leq (\frac{a+b+c}{3})^{3}=1$
$\Rightarrow \sum ab\geq 3\sqrt{a^{2}b^{2}c^{2}}\geq 3abc\Rightarrow VT\geq 3abc+\frac{1}{abc}\geq abc+3$
Đpcm.......
"Attitude is everything"
#3
Đã gửi 28-07-2015 - 15:57
ta có:$abc\leq (\frac{a+b+c}{3})^{3}=1$
$\Rightarrow \sum ab\geq 3\sqrt{a^{2}b^{2}c^{2}}\geq 3abc\Rightarrow VT\geq 3abc+\frac{1}{abc}\geq abc+3$
Đpcm.......
Cách giải của bạn hoàn toàn sai nhé, đến bước $3abc+\frac{1}{abc}\geq abc+3$ chưa chứng minh được
Cách của mình:
Ta có BĐT tương đương:
$abc(ab+bc+ca)+1\geq (abc)^2+3abc$
$VT\geq 3abc.\sqrt[3]{(abc)^2}+1$
Cần chứng minh: $3x.\sqrt[3]{x^2}+1\geq x^2+3x$ (với $abc=x$)
Dễ dàng chứng minh được $x\leq 1$
Đặt: $x=y^3$ thì $y\leq 1$
BĐT trở thành:
$3y^5+1-y^6-3y^3\geq 0$
$<=>(y-1)^2(y+1)(2y^2+y+1-y^3)\geq 0$ (BĐT đúng)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 28-07-2015 - 16:06
- Frankesten yêu thích
#4
Đã gửi 28-07-2015 - 16:01
ta có:$abc\leq (\frac{a+b+c}{3})^{3}=1$
$\Rightarrow \sum ab\geq 3\sqrt{a^{2}b^{2}c^{2}}\geq 3abc\Rightarrow VT\geq 3abc+\frac{1}{abc}\geq abc+3$
Đpcm.......
Nhờ điều hành viên xóa hộ mình bài viết này
"Attitude is everything"
#5
Đã gửi 28-07-2015 - 16:02
ta có:$abc\leq (\frac{a+b+c}{3})^{3}=1$
$\Rightarrow \sum ab\geq 3\sqrt{a^{2}b^{2}c^{2}}$ $\geq 3abc\Rightarrow VT\geq 3abc+\frac{1}{abc}\geq abc+3$
Đpcm.......
Chỗ này $AM-GM$ sai rồi nhé:$\sum ab\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}$
#6
Đã gửi 28-07-2015 - 16:10
Cho a+b+c=3, a,b,c >0. CMR: $\sum ab + \frac{1}{abc} \geq abc+3$
$\sum ab\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}$
Đặt $\sqrt[3]{abc}=t$
Cần cm $3t^{2}+\frac{1}{t^{3}}\geq t^{3}+3$ với $t\leq 1$
Biến đổi tương đương, ta có:
$(t-1)^{2}(t+1)(t^{3}-2t^{2}-t-1)\leq0$
Xét hàm số $f\left ( t \right )=t^{3}-2t^{2}-t-1$ có $f'(t)=3t^{2}-4t-1=0\Leftrightarrow t= \frac{2+-\sqrt{7}}{3}$
Lập bảng biến thiên, ta có $f(t)< 0$ với mọi $t<1$
=> ĐPCM
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh