Chủ đề này có 1 trả lời

[Frankesten]

Cho a,b,c dương. CMR $\sum (\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}})^{\frac{1}{2}} \geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 28-07-2015 - 17:04

[Hoang Nhat Tuan]

Cho a,b,c dương. CMR $\sum (\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}})^{\frac{1}{2}} \geq 1$

Chú ý tiêu đề:http://diendantoanho...nh-sửa-tiêu-đề/

Ta có: $\sum \sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}=\sum \sqrt{\frac{1}{1+(\frac{b+c}{a})^3}}$

Lại có:

$\sqrt{1+(\frac{b+c}{a})^3}=\sqrt{(1+\frac{b+c}{a})(1-\frac{b+c}{a}+\frac{(b+c)^2}{a^2})}\leq \frac{2+\frac{(b+c)^2}{a^2}}{2}=\frac{2a^2+(b+c)^2}{2a^2}$

$\leq \frac{a^2+b^2+c^2}{a^2}$

Do đó: $\sum \sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}\geq \sum \frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}=1$