Chủ đề này có 2 trả lời

[dkhoan]

 CM: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{3a+b}})\leq 2$

[haichau0401]

 CM: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{3a+b}})\leq 2$

Ta có: $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a+3b}}\leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a+b}{a+3b})$ (1)   (bất đăng thức Cô si)

           $\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}\leq \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2b}{a+3b})$       (2)   (bất đăng thức Cô si)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:

$\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a+3b}}\le \dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{3}{2})$                (*)

Tương tự: $\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{b+3a}}\le \dfrac{1}{2}(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{3}{2})$ (**)

Cộng (*) và (**) vế theo vế ta được điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haichau0401: 13-12-2015 - 21:57

[royal1534]

 CM: $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{3a+b}})\leq 2$

 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$\sqrt{\frac{a}{a+3b}}=\sqrt{\frac{a(a+b)}{(a+3b)(a+b)}} \leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a+b}{a+3b})$

$\sqrt{\frac{b}{a+3b}}\leq \frac{1}{2}(\frac{2b}{a+3b}+\frac{1}{2})$

$\rightarrow \frac{1}{\sqrt{a+3b}}.(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \leq \frac{1}{2}.(\frac{a}{a+b}+\frac{a+b+2b}{a+3b}+\frac{1}{2})=\frac{3}{4}+\frac{a}{2(a+b)}$

Tương tự $\frac{1}{\sqrt{b+3a}}.(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \leq \frac{3}{4}+\frac{b}{2(a+b)}$

$\rightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\frac{1}{\sqrt{a+3b}}+\frac{1}{\sqrt{b+3a}}) \leq \frac{6}{4}+\frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}) = \frac{6}{4}+\frac{1}{2}=2$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b$